Grupp (matematik)

Från Rilpedia

(Omdirigerad från Gruppteori)
Hoppa till: navigering, sök
Wikipedia_letter_w.pngTexten från svenska WikipediaWikipedialogo_12pt.gif
rpsv.header.diskuteraikon2.gif
icon_anmal.gif
rp-wp-sv.gif

En grupp är en typ av algebraisk struktur, vars studium kallas gruppteori.

Innehåll

Historia

Gruppteorin har tre huvudsakliga inspirationsområden; talteorin, sökandet efter lösningar av polynomekvationer och studiet av symmetrier inom geometrin. Den modulära aritmetiken gav tidiga exempel på grupper som skiljde sig från de klassiska talsystemen. Lagrange, Ruffini och Abel erhöll flera tidiga resultat om permutationsgrupper i sitt studie av lösningar till polynomekvationer av hög ordning. Termen grupp myntades av Galois i arbetet med Galoisteorin som kan besvara frågan när en polynomekvation har en lösningsformel. Felix Klein var med sitt Erlangen-program, som syftade till att reducera geometrin till studiet av symmetrier, en annan viktig föregångare.

Runt 1880 förenades dessa separata områden i gruppteorin. Denna har sedan varit inspirationskälla för skapandet av såväl abstrakt algebra som områden som reresentationsteori.

Definition

En grupp (G, •) är en mängd G tillsammans med med en binär operator • på G (det vill säga en funktion från G × G till G) som uppfyller följande villkor:

Associativitet. För alla a, b och c i G gäller (a • b) • c = a • (b • c).
Existens av identitet. Det finns ett element e i G, kallat identiteten i G, med egenskapen e • a = a = a • e för alla a i G.
Existens av inverser. För varje a i G finns ett element b i G, kallat inversen till a, med egenskapen a • b = e = b • a, där e är identiteten i G.

En konsekvens av definitionen är att identiteten i gruppen är unik, samt att inversen till varje givet element är unik. Gruppen (G, •) sägs vara kommutativ, eller vanligare abelsk, om den dessutom uppfyller följande villkor:

Kommutativitet. För alla a och b i G gäller a • b = b • a.

I generell gruppteori noterar man ofta gruppoperationen som multiplikation, det vill säga r • s noteras rs, inversen till s noteras s − 1. Man kan då också definiera potenser, sn som produkten av n likadana faktorer s. För negativa exponenter gäller s − n = (s − 1)n. För abelska grupper använder man ofta additiv notation, varvid gruppoperationen skrivs r + s och inversen − s. En summa s+\cdots+s av n lika element skrivs då ns.

Delgrupp

Wiki letter w.svg  Detta korta avsnitt behöver utökas.

En delgrupp H till en grupp (G,•) är en delmängd till G som i sig är en grupp med samma operator.

Om G är en ändlig grupp så gäller att antal element i H delar antal element i G (se Lagranges sats).

Grupphomomorfi

Wiki letter w.svg  Detta korta avsnitt behöver utökas.

En grupphomomorfi från en grupp G till en grupp H är en funktion från G till H som "respekterar gruppstrukturen", det vill säga överför en produkt i en produkt. För att funktionen f från G till H skall vara en homomorfi krävs alltså precis att

f(ab) = f(a)f(b)

för alla a och b i G.

Isomorfi

Två grupper (G, * ) och (H,\circ) kallas isomorfa om det finns en gruppisomorfi mellan dem, det vill säga en bijektiv avbildning f:G\rightarrow H sådan att f(a*b)=f(a)\circ f(b). Noteras ofta (G,*)\cong(H,\circ). Isomorfi är en ekvivalensrelation och delar alltså upp klassen av alla grupper i ekvivalensklasser. Ur en abstrakt synvinkel ser man isomorfa grupper som en och samma grupp.

Viktiga klasser av grupper

En ändlig grupp är en grupp med ändligt många element. Antalet element kallas gruppens ordning.

Den cykliska gruppen genererad av ett element a består av alla potenser av a. Noteras ofta \langle a \rangle. Varje cyklisk grupp är isomorf med antingen (\Bbb{Z},+) eller (\Bbb{Z}_n,+) genom att a\mapsto 1 definierar en isomorfism.

Den symmetriska gruppen Sn är gruppen av alla permutationer av en mängd med n element. Varje grupp är isomorf med en delgrupp till den symmetriska grupp som består av permutationer av gruppen själv.

Exempel

Operationer på grupper

Kvotgrupper

Givet en grupphomomorfi G\rightarrow H kan man visa att bilden av homomorfin utgör en delgrupp till H, samt att kärnan K, det vill säga de element i G som avbildas på enhetselementet i H, utgör en delgrupp till G.

Det visar sig att bilden kan återskapas upp till isomorfi enbart utifrån G och delgruppen K, nämligen som kvotgruppen av G med avseende på K. Mer allmänt kan man alltid givet en grupp G och en s.k normal delgrupp N konstruera kvoten G/N enligt följande:

Låt N vara en delgrupp till G. Givet ett element g\in G definierar vi den vänstra sidoklassen gN till N med avseende på g som mängden av element på formen gn för något element n\in N, samt den högra sidoklassen Ng som mängden av element på formen ng gör något element n\in N. Man kan visa att varje element i g kommer att tillhöra en och endast en vänster- respektive höger sidoklass.

Delgruppen N sägs vara normal om för varje g så gäller gN=Ng.

För en normal delgrupp N till G definieras nu kvotgruppen G/N som mängden av sidoklasser tillsammans med den operation som ges av gN*g'N=gg'N. Man kan visa att detta ger en väldefinierad operation.

Det finns nu en naturlig grupphomomorfi G\rightarrow G/N som ges av g\rightarrow gN. N kommer att vara kärnan för denn homomorfi, och G/N är bilden.

Direkt produkt av grupper

Givet två grupper G och H kan man definiera deras direkta produkt G \times H som mängden av par \{(g,h)\mid g\in G, h\in H \} med operationen (g,h)*(g',h')=(gg',hh'). Enhetselementet utgörs av (eG,eH) och inversen till (g,h) ges av (g − 1,h − 1). Från G\times H finns nu projektionsavbildningar till G respektive H vars kärna är H respektive G, så att H är kvoten av G \times H med undergruppen G \times \{e_H\} och vice versa.

Se även

Hämtad från "https://sv.rilpedia.org/wiki/Grupp_(matematik)"
Personliga verktyg