Isomorfism
Från Rilpedia
Isomorfi betyder samma form, d.v.s. saker som har samma form kan kallas isomorfa. Därför kan t.ex. två sfäriska föremål av helt olika ursprung kallas för isomorfa ur ett visuellt perspektiv.
I hjärnan finns delar, s.k. spegelcentra, som är specialiserade på att leta efter isomorfi. Förmågan att känna igen ansikten är ett sådant fenomen.
Matematik
En isomorfism eller isomorfi är inom matematiken, en sorts intressant avbildning mellan objekt. Douglas Hofstadter ger en informell definition:
- Ordet "isomorfism" kan användas då två komplexa strukturer kan avbildas på varandra på ett sådant sätt att för varje del av den ena strukturen finns det en motsvarande del i den andra, där "motsvarande" betyder att de två delarna spelar liknande roller i sina respektive strukturer. (Gödel, Escher, Bach, s. 49)
Formellt är en isomorfism en bijektiv avbildning f så att både f och dess invers f -1 är homomorfismer.
Om det existerar en isomorfism mellan två strukturer kallas de två strukturerna isomorfa. Isomorfa strukturer är "samma" på en viss nivå av abstraktion. Om man ignorerar de specifika identiteterna hos elementen i de underliggande mängderna och namnen i de underliggande relationerna är de två strukturerna identiska.
Exempel
Om till exempel ett objekt består av en mängd X med en ordning <= och ett annat objekt består av en mängd Y med en ordning [=, så är en isomorfism från X till Y en bijektiv funktion f : X -> Y så att
- f(u) [= f(v) omm u <= v.
En sådan isomorfism kallas en ordningsisomorfism.
Eller, om på dessa mängder de binära operatorerna * och @ är definierade på respektive mängd, då är en isomorfism från X till Y en bijektiv funktion f : X -> Y så att
- f(u) @ f(v) = f(u * v)
för alla u, v i X. När objekten i fråga är grupper, kallas isomorfismen gruppisomorfism.
Inom den universella algebran ges en generell definition på isomorfism som täcker dessa och många andra fall. Definitionen på isomorfism som ges i kategoriteori är ytterligare generell.
