Avbildning
Från Rilpedia
Inom matematik är en avbildning, T, från en mängd X till en mängd Y, en hopparning av vissa element från X med vissa element från Y. Denna parning är sådan att ett X-element paras ihop med bara ett Y-element; X-elementet x paras ihop med Y-elementet Tx.
- De X-element som ingår i parningen utgör vad som kallas avbildningens definitionsmängd D(T). I allmänhet är detta en delmängd av mängden X:
- De Y-element som ingår i parningen utgör vad som kallas avbildningens värdemängd R(T). I allmänhet är detta en delmängd av mängden Y:
- Om definitionsmängden utgör hela mängden X säger man att avbildningen är injektiv:
- Om värdemängden utgör hela Y-mängden säger man att avbildningen är surjektiv:
- En avbildning som är både injektiv och surjektiv kallar man en bijektiv avbildning.
En operator är en avbildning där mängden X är ett vektorrum och där mängden Y också är ett vektorrum.
En funktional är en avbildning där mängden X är ett vektorrum och mängden Y är en delmängd av de komplexa talen.
Ofta används begreppet funktion synonymt med avbildning, men ibland görs åtskillnad mellan dessa begrepp. I dessa fall menas med en funktion en avbildning där mängden X kan vara vad som helst, men där mängden Y är en delmängd av de komplexa talen.
Mängden av de komplexa talen är ett vektorrum, så en funktional är en särskild slags operator och även en särskild slags funktion.
Exempel
Operator: Låt X vara mängden av alla deriverbara och reellvärda funktioner på det slutna intervallet [0,1] och låt Y vara mängden av alla kontinuerliga reellvärda funktioner på det slutna intervallet [0,1]:
![X = \mathcal{C}^1([0,1],\mathbb{R});](/w/images/sv.rilpedia.org/math/b/d/3/bd374e78faf8eefa902198a9141a62f7.png)
![Y = \mathcal{C}([0,1],\mathbb{R}).](/w/images/sv.rilpedia.org/math/9/3/c/93c04d901f4716663c59b2d0ba663861.png)
Ett exempel på en operator är den avbildning som parar ihop en deriverbar reellvärd funktion x(t) med dess derivata (som är en kontinuerlig funktion):
![Tx = \frac{dx}{dt}, \quad x \in \mathcal{C}^1([0,1],\mathbb{R}).](/w/images/sv.rilpedia.org/math/5/0/8/508e53f512d55bd7f87bf2056b2d0ec0.png)
Funktional: Låt X vara mängden av alla kontinuerliga reellvärda funktioner på det slutna intervallet [0,1]. Ett exempel på en funktional är den bestämda integralen över intervallet [0,1]:
![Tx = \int_0^1 x(t) \, dt, \qquad x \in \mathcal{C}([0,1],\mathbb{R}).](/w/images/sv.rilpedia.org/math/2/5/e/25e2ba69bc962f36b39fbecff3549d21.png)
Funktion: Låt X vara det slutna intervallet [0,1] och Y också vara samma intervall. Ett exempel på en funktion är:
![T(x) \,= x^2, \qquad x \in [0,1].](/w/images/sv.rilpedia.org/math/3/0/0/3003c22bc7822eb5bd092cf11fc38b9a.png)
(När det gäller funktioner är det brukligt att skriva T(x) istället för Tx.)
Källor
- G. B. Folland, Real Analysis: Modern techniques and their applications, Second edition (1999), Wiley-Interscience
- E. Kreyszig, Introductory functional analysis with applications, (1978), Wiley
