Lagranges sats

Från Rilpedia

Hoppa till: navigering, sök
Wikipedia_letter_w.pngTexten från svenska WikipediaWikipedialogo_12pt.gif
rpsv.header.diskuteraikon2.gif

Lagranges sats är en matematisk sats inom abstrakt algebra. Satsen lyder att om G är en ändlig grupp och H är en delgrupp till G så är ordningen för H en delare till ordningen för G. Satsen är uppkallad efter Joseph-Louis Lagrange.

Bevis

Alla vänstersidoklasser till undergruppen H bildar en partition av G:

 G = g_1 H \cup g_2 H \cup ... \cup g_m H
 g_iH \cap g_jH = \emptyset ~~ \mathrm{om} ~~ i \neq j

och då storleken av en union av parvis disjunkta mängder är summan av storleken på de ingående mängderna får man att:

|G| = |g_1H|+|g_2H|+...+|g_mH|\,

Då en egenskap hos vänstersidoklasser är att varje sidoklass innehåller lika många element som undergruppen den konstruerades ifrån, | giH | = | H | , får man att

 |G| = m|H|\,

vilket skulle bevisas.

Följder av Lagranges sats

Lagranges sats ger att alla delgrupper till en grupp måste ha en ordning som delar gruppens ordning. Det omvända gäller dock inte, det vill säga att det måste inte finnas en delgrupp till varje delare till gruppens ordning.

För alla element  g \in G är ordningen av g, o(g), en delare i | G | .

För alla ändliga grupper G med ordning n gäller att gn är det neutrala elementet för alla element g i G.

Alla grupper med primtalsordning, det vill säga gruppens ordning är ett primtal, är cykliska grupper.

Personliga verktyg