Lebesguemått

Från Rilpedia

Texten från svenska Wikipedia

Lebesguemått är inom matematik ett begrepp som mätar till exempel längd, yta och volym för mängder i en, två och tre dimensioner. Lebesguemåttet är den först icke-triviallt mått inom måtteori. Det är definierad i euklidiska rummet $\R^n$ .

Lebesguemåttet var definierad i 1902 i artikel ^[1]. Det är namngett efter Henri Lebesgue som uppfann det.

Innehåll

1 Yttre Lebesguemått
- 1.1 n-intervall
- 1.2 Alla mängder
2 Lebesguemått
3 Innre Lebesguemått
4 Exempel
5 Egenskaper
6 Se även
7 Källor
8 Referenser

Yttre Lebesguemått

Likså ofta inom måtteori Lebesguemåttet är formellt först definierad med hjälp av ett yttre mått kallas Lebesgue yttre mått. Med yttre mått man kan mäta alla mängder men det är nödvändigtvis inte ett mått.

n-intervall

Lebesgues idé var att använda den linjära strukturen i $\R^n$ så att det är lätt att beräkna måttet för mängder. Man täcker mängden som ska mätas med rätblock eftersom volymen då är lätt att beräkna och sen vi tar den minsta summavolymen av rätblocken. Ett "rätblock" i flera dimensioner kallas n-intervall och volymen n-måttet.

Mer exakt, en mängd $R \subset \R^n$ är ett n-intervall, om det finns $a_i \leq b_i \in \R, i = 1,2,...,n$ så att

$R = [a_1,b_1]\times [a_2,b_2] \times ... \times [a_n,b_n].$

Där $\times\,$ innebär cartesisk produkt.

I geometri definieras ofta längden för intervallet $[a,b]\,$ att vara talet $b - a\,$ . Därför kan man definiera det n-måttet för ett n-intervall $I \subset \R^n$ så att det är talet

$\mu(I) := (b_1-a_1)(b_2-a_2) ... (b_n-a_n) = \prod_{i=1}^n (b_i-a_i).$

Nu är det möjligt att mäta storleken på alla n-intervall i $\R^n$ . Man kan använda detta för att mäta storleken av alla mängder i $\R^n$ .

Så att man har nu definierad "måttet" för alla n-intervall.

Alla mängder

Nästa graden är utvidga den här definitionen för alla mängder.

Låt $\mathcal{I}^n$ vara familjen av alla n-intervall i $\R^n$ .

Det yttre Lebesguemåttet är en funktion $\mathcal{L}_n^* : \mathcal{P}(\R^n) \rightarrow [0,+\infty]$ , definierad som:

$\mathcal{L}_n^* (A):= \inf\left\{\sum_{k=1}^\infty \mu (I_k) : A \subset \bigcup_{k=1}^\infty I_k \mbox{ och } I_k \in \mathcal{I}^n, k \in \N \right\}.$

Så att "måttet" är nu definierat för alla mängder i $\R^n$ .

Man kallas den här funktionen yttre Lebesguemåttet eftersom det är ett yttre mått. Mer precist funktionen $\mathcal{L}_n^*$ uppfyller följande kriterier:

Icke-negativitet: ingen mängd har negativt yttre Lebesguemått:

$\mathcal{L}_n^* (A) \geq 0$ ,

för alla $A \subset \R^n\,$ .

Tomma mängden har måttet noll:

$\mathcal{L}_n^* (\varnothing) = 0$ ,

Monotonicitet: om $A \subset B \subset \R^n$ , så är

$\mathcal{L}_n^* (A) \leq \mathcal{L}_n^* (B)$

Subadditivitet: om $(A_i)\,$ är en uppräknelig följd av mängder i $\R^n$ så är

$\mathcal{L}_n^* \left(\bigcup_{k=1}^\infty A_k\right) \leq \sum_{k=1}^\infty \mathcal{L}_n^* (A_k)$ .

Lebesguemått

Yttre Lebesguemått är inte ett mått eftersom det är inte sigma-additiv. Så att det finns för mycket mängder att mäta. Därför man måste identifiera vilken mängder är inte resonliga att mäta.

Man säger att $A \subset \R^n$ är en Lebesguemätbar mängd om det uppfyller Carathéodorys kriterium: för all $E \subset \R^n$ :

$\mathcal{L}_n^* (E) = \mathcal{L}_n^* (E \cap A) + \mathcal{L}_n^* (E \setminus A).$

Det går att visa att där finns mängder som inte är icke Lebesguemätbara. Om man begränsa yttre Lebesguemåttet till Lebesguemätbara mängder det är ett mått.

Mer precist, låt $\mbox{Leb} \R^n$ vara familjen av alla $\R^n$ Lebesguemätbara mängder.

Eftersom funktionen $\mathcal{L}_n^*$ är ett yttre mått, man kan visa att familjen $\mbox{Leb} \R^n$ är en sigma-algebra och att funktionen $\mathcal{L}_n^*$ är uppräkneligt additiv för alla Lebesguemätbara mängder. Därför är funktionen

$\mathcal{L}_n := \mathcal{L}_n^* | \mbox{Leb} \R^n$

ett mått, kallat n-dimensionella Lebesguemåttet.

Innre Lebesguemått

Carathéodorys kriterium för Lebesguemätbarhet är ganska abstrakt definitionen och inte nödvändigtvis den mest intuitiva. För mängder med ändliga yttre Lebesguemåttet det finns andra definitionen för mätbarhet som är ekvivalent med Carathéodorys kriteriumen. Den här är definierad med hjälp av innre Lebesguemåttet.

Till exempel om $A \subset [0,1]$ är Lebesguemätbar så är måttet för $A\,$ talet $1 - \mathcal{L}_1^* ([0,1] \setminus A)$ . Lickså om $A \subset [0,1]^n$ är Lebesguemätbar så är måttet för $A\,$ talet $1 - \mathcal{L}_1^* ([0,1]^n \setminus A)$ . Innre Lebesguemåttet utvidgas den här begrepp för hela rummet $\R^n$ .

För $A \subset \R^n$ med $\mathcal{L}_n^* (A) < \infty$ det innre Lebesguemåttet är talet

$\mathcal{L}_{n*} (A) := \limsup_{k \rightarrow \infty} \, \left[ \mathcal{L}_n^* ([-k,k]^n) - \mathcal{L}_n^* ([-k,k]^n \setminus A) \right] .$

Det går att visa att för $A \subset \R^n$ med $\mathcal{L}_n^* (A) < \infty$

$\mathcal{L}_{n*} (A) \leq \mathcal{L}_n^* (A)$ .

Den koppling till yttre Lebesguemåttet är att för $A \subset \R^n$ med $\mathcal{L}_n^* (A) < \infty$

är $\mathcal{L}_{n*} (A) = \mathcal{L}_n^* (A)$

om och endast om

mängden $A\,$ är Lebesguemätbara.

Exempel

Låt $A = \{ (x,y) \in \R^2 : 0 \leq x \leq 1, y = 0\}$ , och för alla $\varepsilon > 0$ låt $I_\varepsilon := [0,1]\times[-\varepsilon,\varepsilon].$

Det följer att $A \subset I_\varepsilon$ :s 2-mått är

$\mu (I_\varepsilon) = (1-0)(\varepsilon-(-\varepsilon)) = 2\varepsilon .$

Så att

$\mathcal{L}_2^* (A) \leq \mu (I_\varepsilon) = 2\varepsilon \rightarrow 0,$ när $\varepsilon \rightarrow 0,$

följaktligen är $\mathcal{L}_2^* (A) = 0$ eftersom $\mathcal{L}_2^*$ inte är negativ.

Alla uppräkneliga mängder är nollmängder. Låt $A \subset \R^n$ vara en uppräknelig mängd. Då

$A = \{x_i : i \in \N\}.$

Eftersom $\mathcal{L}_n^*$ är subadditiv så är

$\mathcal{L}_n^* (A) \leq \sum_{i=1}^\infty \mathcal{L}_n^* (\{x_i\}) = \sum_{i=1}^\infty 0 = 0$ ,

dvs $\mathcal{L}_n^* (A) = 0$ .

Det finns även överuppräkneliga mängder som har Lebesguemåttet noll, exempelvis har Cantormängden 1-dimensionella Lebesguemåttet noll.

Det går även att visa att om $A \subset \R$ och varje delmängd till A är Lebesguemätbar så är $\mathcal{L}_1(A)=0$ . En följd av detta är att varje mängd som har positivt mått har en delmängd som inte är mätbar.

Egenskaper

Lebesguemåttet är ett ganska naturligt mått i $\R^n$ . Yttre Lebesguemåttet är ett yttre regelbundet och metriskt yttre mått

och Lebesguemåttet är ett Borelmått, ett Radonmått, ett Haarmått, ett komplett mått och ett Ahlfors-regelbundet mått i $\R^n$ . Det är även ett produktmått över Borelmängder.

Tyvärr, Lebesguemåttet är inte bra att mäta mängder med "för mycket" geometriska strukturen, likså mångfalder och fraktaler. För det här det finns ett mer modernt mått, Hausdorffmåttet, som gör just det.

Å andra sidan i $\R^n$ finns det ett $c = c(n) > 0\,$ så att

$\mathcal{H}^n = c \mathcal{L}_n^*$ ,

där $\mathcal{H}^n$ är n-dimensionella yttre Hausdorffmåttet och

$c(n) = 2^{-n}\frac{\pi^{n/2}}{\Gamma(\frac{n}{2}+1)},$

där $\Gamma\,$ är Gammafunktionen.

Se även

Källor

Bourbaki, N. (2004), Integration I, Springer-Verlag

Referenser

↑ Henri Lebesgue (1902). "Intégrale, longueur, aire". Université de Paris.

[0] Henri Lebesgue (1902). "Intégrale, longueur, aire". Université de Paris.

[1]

Lebesguemått

Från Rilpedia

Innehåll

Yttre Lebesguemått

n-intervall

Alla mängder

Lebesguemått

Innre Lebesguemått

Exempel

Egenskaper

Se även

Källor

Referenser

Visningar

Personliga verktyg

Sök

Navigering

Bibeln

Övrigt

Verktygslåda

På andra språk