Produktmått

Från Rilpedia

Hoppa till: navigering, sök

Texten från svenska Wikipedia

Produktmått är inom matematiken ett typ av mått som är en produkt av andra mått.

Innehåll

1 Produkt sigma-algebra
2 Produktmått
3 Exempel
4 Fubinis sats
5 Se även
6 Referenser

Produkt sigma-algebra

Låt $(X_i,\mathcal{F}_i)$ , $i \in I\,$ , vara en familj av mätbara rum. Indexmängden $I\,$ kan vara en godtycklig mängd - även ouppräknelig. Låt X vara en cartesisk produkt av mängderna $X_i\,$ , dvs

$X := \prod_{i \in I} X_i = \{(x_i)_{i \in I} : x_i \in X_i, \ i \in I\}.\,$

En mängd $A \subset X\,$ är en kon om det finns en ändlig mängd $K_A \subset I\,$ och mängder $A_k \subset X_k\,$ , $k \in K_A\,$ , så att

$A = \{(x_i)_{i \in I} \in X : x_k \in A_k, \ k \in K_A \}.$

Med andra ord, konen är en produkt:

$A = \prod_{i \in I} Y_i$

där

$Y_i := \begin{cases}A_i, & i \in K_A ,\\X_i, & i \notin K_A.\end{cases}$

dvs bara ett ändlig antal av $Y_i\,$ är icke- $X_i\,$ .

En kon $A = \{(x_i)_{i \in I} \in X : x_k \in A_k, \ k \in K_A \}$ är en mätbar kon om

$A_k \in \mathcal{F}_k\,$

för alla $k \in K_A\,$ .

Låt $\mathcal{K}\,$ vara en familj av alla mätbara koner.

En produkt sigma-algebra, $\mathcal{F}$ , är en sigma-algebra genererad av alla mätbara koner. Mer precist, en produkt sigma-algebra är

$\mathcal{F} := \prod_{i \in I} \mathcal{F}_i = \sigma(\mathcal{K}).$

Detta innebär att produkt sigma-algebran är den minsta av de sigma-algebror som har alla mätbara koner som en del av sig.

När $I = \{1,2,...,k\}\,$ är en ändlig mängd betecknas ofta produkt sigma-algebran

$\mathcal{F}_1 \otimes \mathcal{F}_2 \otimes ... \otimes \mathcal{F}_k .$

Produktmått

Man definierar produktmåttet med hjälp av mätbara koner.

Låt $(X_i,\mathcal{F}_i,\mu_i)$ , $i \in I\,$ , vara en familj av sigma-ändliga måttrum. Man behöver sigma-ändlighet här eftersom produktmåttet inte är unikt med icke-sigma-ändliga måttrum.

För en kon

$A = \{(x_i)_{i \in I} \in X : x_k \in A_k, \ k \in K_A \}.$

definiera ett "mått"

$\tau (A) := \prod_{k \in K_A} \mu_k (A_k).\,$

Den här funktionen $\tau : \mathcal{K} \rightarrow [0,\infty]\,$ är sigma-additiv och $\tau(\varnothing) = 0\,$ . Tyvärr är det inte ett mått eftersom mätbara koner $\mathcal{K}\,$ inte bildar en sigma-algebra.

Å andra sidan det går att visa att $\mathcal{K}\,$ bildar en algebra, dvs

$X \in \mathcal{K},\,$
$A \in \mathcal{K} \Rightarrow X \setminus A \in \mathcal{K}\,$ och
$A,B \in \mathcal{K} \Rightarrow A \cup B \in \mathcal{K}\,$ .

Dessutom är produkt sigma-algebran genererad av en algebra $\mathcal{K}\,$ . Därför, med Carathéodorys utvidgningsats, innebär detta att det finns en unik utvidgning, $\mu : \mathcal{F} \rightarrow [0,\infty]\,$ , för funktionen $\tau\,$ som är ett mått, som kallas produktmåttet. Det är ofta betecknat

$\mu := \prod_{i \in I} \mu_i ,$

så att en trippel

$(X,\mathcal{F},\mu) = \left( \ \prod_{i \in I} X_i \ , \ \prod_{i \in I} \mathcal{F}_i \ , \ \prod_{i \in I} \mu_i \ \right)$

är ett måttrum.

När $I = \{1,2,...,k\}\,$ är en ändlig mängd går det ofta att beteckna produktmåttet

$\mu_1 \times \mu_2 \times ... \times \mu_k .$

Exempel

Lebesguemåttet i $\R^n$ , när $n \geq 2\,$ , är inte ett produktmått. Intuitionen sägar att

$\mathcal{L}_n = \mathcal{L}_1 \times ... \times \mathcal{L}_1$

men det är inte så för alla Lebesguemätbara mängder. Till exempel låt $n = 2\,$ och $N \subset \R$ vara en icke Lebesguemätbar mängd. Så att mängden

$A := \{0\} \times N$

är $\mathcal{L}_2$ -mätbar eftersom

$\mathcal{L}_2 (A) = 0\,$ .

Å andra sidan det är icke $\mathcal{L}_1 \times \mathcal{L}_1$ -mätbar eftersom

$A \notin [\mbox{Leb}\,\R] \otimes [\mbox{Leb}\,\R]$ .

Så att

$\mathcal{L}_2 \neq \mathcal{L}_1 \times \mathcal{L}_1.$

Å andra sidan är Lebesguemåttet produktmåttet när man bara använder Borelmängder. Det går att visa att

$\mbox{Bor}\,\R^n = [\mbox{Bor}\,\R] \otimes [\mbox{Bor}\,\R] \otimes ... \otimes [\mbox{Bor}\,\R] ,$

och för alla $[\mbox{Bor}\,\R]$ -mätbara koner $A \subset \R^n$

$\mathcal{L}_n (A) = (\mathcal{L}_1 \times \mathcal{L}_1 \times ... \times \mathcal{L}_1)(A)$ .

Så att

$\mathcal{L}_n | \mbox{Bor}\,\R^n = [\mathcal{L}_1 | \mbox{Bor}\,\R] \times [\mathcal{L}_1 | \mbox{Bor}\,\R] \times ... \times [\mathcal{L}_1 | \mbox{Bor}\,\R],$

eftersom produktmåttet är en unik utvidgning.

Fubinis sats

Huvudartikel: Fubinis sats

En viktig tillämpning för produktmåttet är Fubinis sats. Det sägar att man kan ändra integrerordningen. Låt $(X,\mathcal{F},\mu)$ och $(Y,\mathcal{G},\nu)$ vara sigma-ändliga måttrum och $\mu \times \nu\,$ vara produktmåttet.