Hausdorffmått

Från Rilpedia

Hoppa till: navigering, sök
Wikipedia_letter_w.pngTexten från svenska WikipediaWikipedialogo_12pt.gif
rpsv.header.diskuteraikon2.gif
icon_anmal.gif
rp-wp-sv.gif

Ett Hausdorffmått är inom matematik ett mått för metriska rum som är en generalisering av Lebesguemåttet. Hausdorffmåttet är namngett efter Felix Hausdorff som uppfann det.

Innehåll

Bakgrund

Lebesguemåttet är definierad för en viss dimension, n, och kan bara mäta mängder som är n-dimensionella. Men där finns många mängder i matematik, likså fraktaler, som inte är n-dimensionella.

Hausdorffmåttet ses mer exakt som en geometrisk struktur för mängder. Man mäter alltid mängder med en dimension som är naturlig för en viss mängd, som kallas Hausdorffdimension.

Formell definition

Hausdorffmåttet är definierad i ett separabelt metriskt rum med ett yttre mått som kallas yttre Hausdorffmåttet.

Låt (X,d)\, vara ett separabelt metriskt rum och s en dimension som uppfyller 0\leq s<\infty\,.

För varje \delta > 0\, och A \subset X\, definierar vi talet

\mathcal{H}^s_\delta (A) := \inf\left\{ \sum_{E \in \mathcal{E}} d (E)^s : \mathcal{E} \mbox{ är } A\mbox{:s } \delta\mbox{-overtäckning} \right\}\, ,

med As \delta\,-övertäckning, \mathcal{E}, menas att

Eftersom X är separabelt finns det en \delta\,-övertäckning av X för alla \delta > 0\,, så att

\mathcal{H}^s_\delta : \mathcal{P}(X) \rightarrow [0,\infty],

är en funktion som kallas \delta\,-Hausdorffinnehållet

Dessutom, om A \subset X\, och \delta \downarrow 0 finns det mindre \delta \,-övertäckningar för A\,, dvs funktionen \delta \mapsto \mathcal{H}_\delta^s (A) är växande när \delta \downarrow 0.

Därför finns gränsvärdet \lim_{\delta \downarrow 0} \mathcal{H}_\delta^s (A), och vi kan definiera gränsfunktionen

\mathcal{H}^s := \lim_{\delta \downarrow 0} \mathcal{H}_\delta^s = \sup_{\delta > 0} \mathcal{H}_\delta^s,

som kallas det s-dimensionella yttre Hausdorffmåttet.

Hausdorffmåttet är det mått genererad av yttre Hausdorffmåttet över mätbara mängder definierad med Carathéodorys kriterium.

Alternativt, man kan också definiera Hausdorffmåttet med Carathéodorys konstruktion.

Egenskaper

Yttre Hausdorffmåttet är

Det finns en koppling mellan Hausdorffmåttet och andra mått.

  • I \R^n är det n-dimensionella yttre Hausdorffmåttet det n-dimensionella yttre Lebesguemåttet utan konstant:
\mathcal{H}^n = c(n)\mathcal{L}^*_n

där c(n) \in \R är en konstant.

  • I \R^n är det m-dimensionella yttre Hausdorffmåttet, där m < n\,, samma sak som "areamåttet", dvs man kan mäta area för m-dimensionella mångfalder i \R^m. Den här egenskaper generaliserar Lebesguemåttet: m-dimensionella mångfalder är nollmängder för Lebesguemåttet. Detta innebär att man kan få mer information om en geometrisk struktur för mängder med Hausdorffmåttet.

Dimension

Huvudartikel: Hausdorffdimension.

Att det bara finns en naturlig dimension s för alla mängder i \R^n innebär att mängdens Hausdorffmått är noll om dimensionen är mer än den naturliga dimensionen och oändlig om dimensionen är mindre än den naturlig dimensionen. Den här naturliga dimensionen kallas Hausdorffdimension, definierad som:

\mbox{dim}_\mathcal{H} (A) := \inf \{s : \mathcal{H}^s (A) = 0\}

för A \subset X\,.

Man behöver ofta Hausdorffdimensionen inom fraktalgeometri.

Se även

Referenser

  • Kenneth Falconer, Fractal geometry, John Wiley, Second Edition, 2003
Hämtad från "https://sv.rilpedia.org/wiki/Hausdorffm%C3%A5tt"
Personliga verktyg