Fraktal

Från Rilpedia

Hoppa till: navigering, sök
Wikipedia_letter_w.pngTexten från svenska WikipediaWikipedialogo_12pt.gif
rpsv.header.diskuteraikon2.gif

En fraktal brukar definieras som "ett självsimulerande mönster med struktur i alla skalor", vilket betyder att det liknar sig självt på samma sätt som ett träds grenar i sin tur har likadana fast mindre grenar, en så kallad naturlig fraktal. De fraktala mönstren (i 2D) eller strukturerna (vid 3D) skapas vanligtvis genom olika matematiska transformationer som upprepas (itereras) ett stort antal gånger.

Broccolo (ibland Romanesco) är ett exempel på en naturlig approximativ fraktal.

Innehåll

Historia

Fraktalträd

Ordet fraktal konstruerades på 1970-talet av den franske matematikern Benoît B. Mandelbrot och kommer av latinets fractus som betyder "del av" (fraktion) och syftar på att fraktaler ofta har dimensionstal som inte är heltal. En sierpinskitriangel har till exempel dimensionen log3 / log2 vilket är ungefär 1,58496. Mandelbrot är för övrigt den person som sett till att popularisera fraktalmatematik men han var inte den förste att arbeta med liknande system. Redan ca 100 år tidigare skapades de första fraktala funktionerna av bland annat Georg Cantor och Giuseppe Peano. Även svensken Helge von Koch var tidigt ute och beskrev redan år 1904 Koch-kurvan och von Kochs snöflinga. Andra pionjärer var till exempel: Pierre Fatou, Gaston Julia och Karl Menger.

Fraktalers dimension

Supersamplad juliafraktal

Fraktaler har ofta en dimension som inte är ett heltal. För att kunna fastställa dimensionen för en fraktal behövs matematiska definitioner på begreppet dimension. Här följer några vanliga definitioner:

Naturens matematik

Figur 1. Detta är datorgrafik föreställande en ormbunke, renderat med en matematisk funktion.
Skapandet med IFS

För att skapa en ormbunksliknande fraktal som i Figur 1 används ett itererat funktionssytem ("IFS") där funktionerna är ett system av fyra olika affina transformationsregler. Den affina transformationens formel kan se ut på följande sätt:

 \ {x_{n+1} = a x_n - c y_n   + e}
 \ {y_{n+1} = b x_n + d y_n   + f}

För att skapa ormbunksbladet så har konstanterna i de fyra reglerna följande värden:

IFS a b c d e f
1 0,0 0,35 0,0 0,0 0,0 0,7
2 0,2 0,23 0,26 0,22 0,0 1,3
3 -0,15 0,26 -0,28 0,24 0,0 0,44
4 0,85 -0,04 -0,04 0,85 0,0 1,6

Den första regeln är den som skapar bladets "stam" och som synes är konstanterna a, c, e samtliga lika med 0 (noll) vilket kommer att sätta variabeln x till noll. Stammen har ingen bredd, bara höjd, vilket betyder att den har endast en dimension. Anledningen till att den syns är endast den att datorgrafik är digital, skärmens punkter har en minsta möjlig utbredning (det går inte att visa mindre än en pixel). Som nämnts ovan är en fraktal självsimulerande. De övriga reglerna kopierar stammen och skapar de mindre (sekundära) bladens stammar som inte heller de är utbredda i mer än en dimension. Upprepas någon av dessa regler flera gånger i rad kommer stammen för den tredje nivån att skapas o.s.v. Hela ormbunksbladet består egentligen inte av något annat än bladstammar som inte har någon utbredning. Om man betraktar det från en strikt matematisk synvinkel skulle det vara osynligt. Bladet syns endast på grund av att det visas med den digitalt begränsade datorgrafiken och är alltså inte någon matematisk beräkning som skapar ett ormbunksblad, bara endimensionella linjer som egentligen är osynliga. Ett riktigt ormbunksblad däremot består av tredimensionella celler av flera olika typer.


De ekvationssytem som beskriver modellsystem inom modern teoretisk ekologi är kända för sina kaotiska beteenden, så mycket att de numera har ett mycket större intresse som leksaker, eller en ny slags grafik. Naturliga fenomens matematik blir, när de begränsas till en enstaka disciplin, så intrikat och komplicerad att värld efter värld av färgglada abstraktioner öppnar sig för varje ny nivå som undersöks. Det är inte så konstigt att de som ägnar sig åt detta inom olika ämnesområden tror att det fantasivärldar de ser ger glimtar av den verkliga världen, när de i själva verket gått vilse i Mandelbrots fraktalvärld.

James Lovelock i boken The Ages of Gaia

Kända fraktaler

Kända fraktalister

Exempelbilder av fraktaler

Linjära fraktaler i 2D:
Linjära fraktaler i 3D:
Icke linjära fraktaler:



Se även

Externa länkar

Att läsa:

Media:

Program som skapar fraktaler:

Ämnen inom matematik relaterade till rummet:

Redigera
Topologi | Geometri | Trigonometri | Algebraisk geometri | Differentialgeometri | Algebraisk topologi | Linjär algebra | Fraktal geometri | Kompakt rum

Personliga verktyg