Ahlfors-regelbundet mått

Från Rilpedia

Hoppa till: navigering, sök
Wikipedia_letter_w.pngTexten från svenska WikipediaWikipedialogo_12pt.gif
rpsv.header.diskuteraikon2.gif
icon_anmal.gif
rp-wp-sv.gif

Ett Ahlfors-regelbundet mått är inom matematik ett mått i ett metriskt rum som beter sig som Lebesguemåttet. Måttet är uppkallat efter finska matematikern Lars Ahlfors.

Innehåll

Definition

Låt (X,d)\, vara ett metriskt rum. Ett Radonmått \mu\, i X\, är s-Ahlfors-regelbundet om det finns s > 0\, och c > 0\, så att

c^{-1} r^s \leq \mu(B_r(x)) \leq cr^s

för alla x \in \R^n och r > 0\,. Br(x) är bollen med mittpunkt x och radie r.

Exempel

Det n-dimensionella Lebesguemåttet är n-Ahlfors-regelbundet eftersom det är ett Radonmått och för alla x \in \R^n och r > 0 \,

\mathcal{L}_n (B_r(x)) = c(n)r^n

där c(n):=\mathcal{L}_n (B_1(0)) .

Geometrisk struktur och Ahlfors-regelbundet rummet

Om man kan definiera ett Ahlfors-regelbundet mått i ett metriskt rum, är detta måttstrukturen i det metriska rummet och storleken beter sig på samma sätt som i \R^n\, .

Till exempel, om det finns ett s-Ahlfors-regelbundet mått i det metriska rummet (X,d) så är

  • Man kan skala måttet för mindre mängder: \mu (B_{2r}(x)) \leq c \mu(B_r(x)),

precis som i \R^n\,.

Om man kan definiera ett Ahlfors-regelbundet mått i ett metriskt rum X så är X Ahlfors-regelbundet rummet. Därför till exempel \R^n är Ahlfors-regelbundet.

Se även

Referenser

  • P. Halmos, Measure theory, D. van Nostrand and Co., 1950.
Hämtad från "https://sv.rilpedia.org/wiki/Ahlfors-regelbundet_m%C3%A5tt"
Personliga verktyg