Ortogonalmatris

Från Rilpedia

Hoppa till: navigering, sök
Wikipedia_letter_w.pngTexten från svenska WikipediaWikipedialogo_12pt.gif
rpsv.header.diskuteraikon2.gif

En ortogonalmatris är en reell kvadratisk matris med ortonormerade rader och kolonner. Det gäller för en ortogonal matris Q att \mathbf{Q}^\top\mathbf{Q} = \mathbf{Q}\mathbf{Q}^\top = \mathbf{I}, det vill säga att transponatet av Q är invers till Q.

Ortogonalmatriser har konditionstal 1, varför de är viktiga för att få stabilitet vid numerisk linjär algebra.

Innehåll

Exempel

Exempel på ortogonala matriser är:

Egenskaper

En reell kvadratisk matris av storlek n är ortogonal om och endast om dess kolumner bildar en ortonormerad bas för  \mathbb{R}^n med den vanliga skalärprodukten införd. Om kolumnerna endast är ortogonala och inte normerade uppfyller matrisen ATA = D för någon diagonalmatris D istället.

Determinanten till en ortogonal matris A är 1 eller -1:

 1 = \det I = \det (A^T A) = \det A^T \det A = \det A^2 = (\det  A)^2 \,
 1 = (\det  A)^2 \Leftrightarrow \det A = \pm 1

Det omvända gäller dock inte; en matris med determinanten 1 är inte nödvändigtvis ortogonal.

En linjär avbildning som har en ortogonalmatris i en ON-bas är också en isometri. Vid basbyte mellan två ändliga ON-baser är basbytesmatrisen en ortogonalmatris, vilket gör att diagonalisering av vissa matriser blir väldigt enkelt, se spektralsatsen.

Ortogonalmatriser används vid ett antal matrisfaktoriseringar, exempelvis QR-faktorisering, polärfaktorisering och singulärvärdesfaktorisering.

Konstruktion

De enklaste ortogonala matriserna är (1) och ( − 1).

Ortogonala 2×2-matriser kan konstrueras genom ett antal ekvationer. Med beteckningarna:

 \begin{pmatrix}
a & b \\
c & d 
\end{pmatrix}

Så vet vi att kolonnerna ska vara ortogonala med varandra, samt att varje kolonns skalärprodukt med sig själv ska vara 1. Detta ger ekvationerna:

1 = a^2+c^2\,\! ,
1 = b^2+d^2\,\! ,
0 = ab+cd\,\! .

De två första ekvationerna är ekvationen för en cirkel och om man låter a = cosθ och c = sinθ så får vi två möjliga lösningar b = − sinθ och d = cosθ eller b = sinθ och d = − cosθ. Detta ger matriserna:

\begin{pmatrix}
\cos \theta & -\sin \theta \\
\sin \theta & \cos \theta
\end{pmatrix}
, en rotationsmatris.
 \begin{pmatrix}
\cos \theta & \sin \theta \\
\sin \theta & -\cos \theta
\end{pmatrix}
, en reflektionsmatris.

Se även

Personliga verktyg