Isometri

Texten från svenska Wikipedia

En isometri är inom matematiken en funktion från ett metriskt rum till ett annat, som uppfyller vissa krav.

En funktion $f$ från ett metriskt rum $(X, d X)$ till ett annat metriskt rum $(Y, d Y)$ säges vara en isometri om den är avståndsbevararande, dvs

$d_X(x, y) = d_Y(f(x), f(y)) ~ \forall x,y \in D_f$ .

En linjär avbildning från ett normerat rum till ett annat normerat rum, $F:V \to W$ , sägs vara en linjär isometri om den bevarar normen:

$\|Fv\|_W = \|v\|_V$

då $v \in V$ och $\|\cdot\|_V$ och $\|\cdot\|_W$ är normerna i V respektive W..

Exempel

I det Euklidiska planet utgörs alla isometrier av identitetsavbildningen, translationer, rotationer, speglingar och glidspeglingar. I detta fall gäller

$|x - y| = |f(x) - f(y)| ~ \forall x,y \in \mathbb{R}^2$

Allmänt är alla ortogonalmatriser och unitära matriser isometrier. Alla isometrier mellan ett vektorrum bildar den euklidiska gruppen. Alla linjära isometrier bildar ortogonalgruppen.