Triangelolikheten

Från Rilpedia

Hoppa till: navigering, sök
Wikipedia_letter_w.pngTexten från svenska WikipediaWikipedialogo_12pt.gif
rpsv.header.diskuteraikon2.gif

Triangelolikheten är en matematisk olikhet som säger att i en triangel är längden av en viss sida mindre än summan av längderna av de två övriga sidorna, men större än differensen dem emellan.

Den är giltig i en stor uppsätting rum, bland annat för de reella talen.

Innehåll

Normerat vektorrum

I ett normerat vektorrum V uttrycks triangelolikheten

\| \mathbf{x} + \mathbf{y} \| \leq \| \mathbf{x} \| + \| \mathbf{y} \| för alla  \mathbf{x}, \mathbf{y} \in V. Likhet gäller om och endast om \mathbf{x} och \mathbf{y} är parallella.

Reella tallinjen

Den reella tallinjen är ett normerat vektorrum, med absolutbeloppet som norm. Triangelolikheten för de reella talen skrivs därmed

|x+y| \leq |x|+|y| Här gäller likhet om x och y har samma tecken.

Komplexa talplanet

Inom komplex analys ser olikheten ut som följer:

|z_1+z_2| \leq |z_1|+|z_2| Här gäller likhet om arg(z1) = arg(z2)

Samtidigt gäller (se följdsatsen nedan) att ett tals absolutbelopp är större än differensen av komponenterna (eller lika med, om arg(z1) = − arg(z2)):

|z_1+z_2| \geq \Big||z_1|-|z_2|\Big|

Metriska rum

Triangelolikheten ingår som ett av de definierande axiomen för metriken d i ett metriskt rum  \mathcal{M} .

Den säger att summan av avståndet mellan två punkter p och q alltid är mindre eller lika med summan av avstånden mellan punkt p och en godtycklig punkt r, samt avståndet från r till q, dvs:

d(p,q) \leq d(p,r) + d(r,q)

där d(p,q) betecknar avståndet mellan p och q. Funktionen d(p,q): \mathcal{M} \to \mathbb{R} kallas metriken, eller avståndsfunktionen. Notera att det är avståndet mellan två objekt som definierar rummet, inte tvärt om.

Följdsats

Ur triangelolikheten följer att

\Big| \| \mathbf{x} \| - \| \mathbf{y} \| \Big|\leq \| \mathbf{x} - \mathbf{y} \| och | d(p, r) - d(r, q) | ≤ d(p, q)

vilket betyder att normen || \mathbf{a} || och avståndsmåttet d(a,b) är Lipschitz-kontinuerliga och därmed även kontinuerliga.

Serier och integraler

Den vanliga triangelolikheten har några följder:

Med induktion man kan visa att:

\left|\sum_{i=1}^n x_i\right| \leq \sum_{i=1}^n |x_i|

för x_i \in \R och n \in \N. För absolutkonvergenta serier, dvs:

\sum_{i=1}^\infty |x_i| \in [0,\infty]

finns en triangelolikhet:

\left|\sum_{i=1}^\infty x_i\right| \leq \sum_{i=1}^\infty |x_i|.

Dessutom, för en integral, exempelvis Riemannintegralen, kan man med definitionen av supremum och infimum visa att det finns en triangelolikhet:

\left| \int_a^b f(x)dx \right| \leq \int_a^b |f(x)|dx ,

om f(x)\, är Riemannintegrerbar.

Se även

Personliga verktyg