Geometrisk summa

Från Rilpedia

Hoppa till: navigering, sök
Wikipedia_letter_w.pngTexten från svenska WikipediaWikipedialogo_12pt.gif
rpsv.header.diskuteraikon2.gif
icon_anmal.gif
rp-wp-sv.gif

Inom matematik är en geometrisk summa en summa där förhållandet mellan varje par av intilliggande termer är detsamma.

Innehåll

Exempel

Studera den geometriska summan

x_1 \,+ x_2 + x_3 + x_4 + x_5

där förhållanden mellan de intilliggande termerna är:

\frac{x_2}{x_1} = \frac{x_3}{x_2} = \frac{x_4}{x_3} = \frac{x_5}{x_4} = a.

Detta innebär exempelvis att:

x_5 \,= ax_4 = a^2x_3 = a^3x_2 = a^4x_1.

På samma sätt kan vi uttrycka de övriga termerna, vilket låter oss skriva om summan till:

x_1 + a x_1 + a^2 x_1 + a^3 x_1 + a^4 x_1 \,= x_1 (1 + a + a^2 + a^3 + a^4).

Varje geometrisk summa x1 + x2 + x3 + x4 + x5, kan alltså beräknas om vi kan beräkna den geometriska summa vars första term är talet ett:

1 \,+ a + a^2 + a^3 + a^4.

Hur stor är då denna summa? Beteckna den med symbolen S5 (en summa med fem termer):

S_{5} \,= 1 + a + a^2 + a^3 + a^4.

Om vi multiplicerar denna summa med talet a, så får vi en ny summa vars termer är nästan identiska med dem hos summan S5:

aS_5 \,= a + a^2 + a^3 + a^4 + a^5.

Om vi beräknar differensen aS_5 \,- S_5, så försvinner alla termer utom a5 och 1:

aS_5 - S_5 \,= a^5 - 1.

Av detta kan vi dra slutsatsen att summan S5 är:

S_5 \,= \frac{a^5 - 1}{a-1}.

Den ursprungliga geometriska summan är därför:

x_1 + x_2 + x_3 + x_4 + x_5 = x_1 \cdot \frac{a^5 - 1}{a-1}, \qquad a = \frac{x_2}{x_1}.

(Denna formel kan inte användas om a = 1 men i detta fall är alla termer lika med den första termen, vilket gör att summan blir x1 + x1 + x1 + x1 + x1 = 5x1.)

Allmän geometrisk summa

Den allmänna geometriska summan består av n stycken termer:

x_1 + x_2 + \cdots + x_n, \qquad \frac{x_2}{x_1} = \cdots = \frac{x_n}{x_{n-1}} = a.


Summan kan beräknas med samma formel som summan S5; det enda som vi behöver göra är att ersätta talet 5 med talet n:

x_1 + \cdots + x_n = \begin{cases}x_1 \cdot \frac{a^n - 1}{a-1}, \qquad &a \neq 1;\\n \, x_1, \qquad &a=1.\end{cases}

Alternativ härledning av formeln för allmän geometrisk summa

Genom att använda oss av den allmänna konjugatregeln kan vi härleda formeln för den allmänna geometriska summan. Den allmänna konjugatregeln är en vidareutvecklig av konjugatregeln

a^2 - b^2 = (a-b) \cdot (a+b)

till att gälla för exponenter större än 2:

a^{n+1} - b^{n+1} = (a-b) \cdot \left(\sum_{k=1}^{n+1} a^{n+1-k} \, b^{k-1}\right).

Talen a och b kan vara vilka tal (reella eller komplexa) som helst. Om vi låter b vara talet 1, kan vi läsa av formeln för den allmänna geometriska summan:

a^{n+1} - 1 = (a-1) \cdot \left(\sum_{k=1}^{n+1} a^{n+1-k}\right) = (a-1) \cdot (1 + a + \cdots + a^n).

Exempel inom talteori

De så kallade Mersennetalen är positiva heltal som kan uttryckas som 2^n - 1,\, där n är ett positivt heltal. Den allmänna konjugatregeln visar att Mersennetalet 2^n - 1\, är ett primtal om och endast om den geometriska summan 1 + 2 + 2^2 + \cdots + 2^{n-1} är ett primtal.

Om exempelvis n = 3 så får vi primtal: 2^3-1 \,= 7 och den geometriska summan 1 + 2 + 2^2 \,= 7.

Man kan fråga sig om det finns primtal som kan uttryckas på samma form som Mersenneprimtal, det vill säga som a^n-1,\, där a är ett positivt heltal större än talet två. Svaret på denna fråga är nekande; Den allmänna konjugatregeln visar att ett sådant tal kan faktoriseras: Den ena faktorn är talet a-1\, (som är större än talet ett) och den andra är den geometriska summan 1 + a + \cdots + a^{n-1}.

Exempel

En viss typ av virus skapar en avkomma en gång per sekund. Hur många viruspartiklar finns det efter en minut om spridningen startar med en enda viruspartikel?

Varje sekund bildas det lika många viruspartiklar som det fanns sekunden innan. I början finns en viruspartikel som får en avkomma, då det finns totalt två viruspartiklar. Dessa får en avkomma var, då vi har fyra viruspartiklar, och så vidare. Det sammanlagda antalet viruspartiklar kan uttryckas som en geometrisk summa bestående av 61 termer:

1 + 1 + 2 + 2^2 + 2^3 + \cdots + 2^{59}.

Med hjälp av formeln för den allmänna geometriska serien kan vi uttrycka detta som:

1 + 1 + 2 + 2^2 + 2^3 + \cdots + 2^{59}.= 1 + \sum_{k=0}^{59} 2^k = 1 + \frac{2^{60}-1}{1} = 2^{60}

Detta är ett mycket stort tal, vilket vi kan se om vi uttrycker det som en tiopotens genom att använda en av de så kallade logaritmlagarna:

2^{60} = 10^{\lg 2^{60}} = 10^{60 \, \lg 2} \approx 10^{60 \cdot 0,301} = 10^{18,06} \approx 10^{18}.

Detta tal kan skrivas som en etta följt av 18 stycken nollor:

2^{60} \approx 1 \, 000 \, 000 \, 000 \, 000 \, 000 \, 000;

vilket är en miljon biljoner.

Geometrisk serie

En geometrisk serie är ett matematiskt objekt som definieras med hjälp av formeln för den allmänna geometriska summan:

\sum_{k=0}^\infty a^k = \frac{1}{1-a}, \quad om \quad |a| < 1.

Om absolutbeloppet av a är större eller lika med 1, är serien divergent.

Definition

Vi kan inte beräkna en geometrisk serie som en summa av oändligt många termer, eftersom vi aldrig kommer att bli färdiga med additionen. Trots detta kan vi, på omvägar, tala om vad slutresultatet skulle ha blivit om vi hade levat för evigt. Matematiskt uttrycker man detta som ett gränsvärde:

Den geometriska serien är ett gränsvärde av den geometriska summan (Sn) då antalet termer (n) växer mot oändligheten.

Med symboler skriver man detta som:

\sum_{k=1}^\infty a^k = \lim_{n\to\infty} \sum_{k=1}^n a^k.

Man läser detta på följande sätt: 'Summa a upphöjt till k, då k går från ett till oändligheten, är lika med, limes då n går mot oändligheten, summa a upphöjt till k då k går från ett till n.'

Vi tillämpar en av räknereglerna för gränsvärde för att visa varför formeln för den geometriska serien ser ut som den gör.

\lim_{n\to \infty} \sum_{k=0}^n a^k = \lim_{n\to\infty} \frac{a^{n+1}-1}{a-1} = \frac{(\lim_{n\to \infty}a^{n+1})-1}{a-1}.

Vi kräver att talet a skall ligga mellan talen -1 och 1; Detta innebär att gränsvärdet \lim_{n\to\infty}a^{n+1} är lika med noll:

\lim_{n\to\infty}a^{n+1} = 0, \quad -1 < a < 1.

Om vi sätter in detta resultat i formeln ovan, så ser vi att:

\lim_{n\to \infty} \sum_{k=0}^n a^k = \frac{(\lim_{n\to \infty}a^{n+1}) - 1}{a - 1} = \frac{0-1}{a-1} = \frac{1}{1-a}, \quad -1 < a < 1.

Varför gränsvärdet \lim_{n\to\infty}a^{n+1} är lika med noll

När vi säger att gränsvärdet \lim_{n\to\infty}a^{n+1} är lika med noll, så betyder det att vi kan få talet an + 1 så nära noll vi vill, om vi bara låter heltalet n vara tillräckligt nära oändligheten (\infty), det vill säga heltalet n skall vara tillräckligt stort.

Säg att vi vill att avståndet mellan an + 1 och noll skall vara mindre än en miljondel, 0.000001:

\vert a^{n+1} - 0 \vert < 0{,}000001

Vi använder räkneregeln för absolutbelopp \vert a^{n+1} \vert = \vert a \vert ^{n+1} för att skriva om olikheten:

\vert a \vert ^{n+1} < 0{,}000001

Denna olikhet kan inte vara sann (för positiva heltal n) om det positiva talet \vert a \vert är större än talet ett; därför måste vi kräva av talet a att dess absolutbelopp är strikt mindre än ett:

\vert a \vert < 1.

Om vi applicerar logaritm-funktionen på olikheten \vert a \vert ^{n+1} < 0.000001 kan vi lösa ut heltalet n:

\log \vert a \vert^{n+1} < \log 0{,}000001 \quad \Longleftrightarrow \quad n > \frac{\log 0{,}000001}{\log \vert a \vert} - 1.

(Notera att eftersom det positiva talet \vert a \vert är mindre än ett, blir dess logaritm negativ.)

Dessa beräkningar visar att vi kan få avståndet mellan talen an + 1 och noll mindre än 0,000001, om vi väljer heltalet n större än talet N(0,000001,a), där:

N(0{,}000001,a) = \frac{\log 0{,}000001}{\log \vert a \vert} - 1.

Det är inget speciellt med talet 0,000001 i ovanstående beräkningar; hade vi velat att avståndet mellan talet an + 1 och noll skulle vara ännu mindre (mindre än ett visst tal, \varepsilon), så kunde vi uppnå detta genom att välja ett tillräckligt stort heltal n (större än talet N(\varepsilon,a).) Det är detta som är innebörden i uttrycket \lim_{n\to\infty} a^{n+1} = 0, eller som man säger på 'matematiska':

\forall \, \varepsilon > 0, \, \exists N(\varepsilon, a) \geq 1: \, \forall \, n > N(\varepsilon, a), \quad \vert a^{n+1} - 0 \vert < \varepsilon.

Denna mening uttalas på följande sätt:

För varje tal \varepsilon>0, existerar det ett tal N(\varepsilon,a)\geq1 sådant att: för varje heltal n>N(\varepsilon,a) gäller olikheten \vert a^{n+1}-0\vert<\varepsilon.

(Symbolen \forall kallas inom logiken för allkvantorn och symbolen \exists för existenskvantorn.)

Vi har härmed visat att gränsvärdet \lim_{n\to\infty} a^{n+1} är lika med talet noll, under förutsättning att absolutbeloppet \vert a \vert är strängt mindre än talet ett.
Hämtad från "https://sv.rilpedia.org/wiki/Geometrisk_summa"
Personliga verktyg