Från Rilpedia

Ett Mersennetal M_n är inom talteorin ett heltal på formen 2ⁿ − 1. Det är uppkallat efter den franske amatörmatematikern Marin Mersenne.

Ett Mersenneprimtal är ett Mersennetal som är ett primtal.

Innehåll 1 Om Mersenneprimtal 2 Sökning efter Mersenneprimtal 3 Lista över alla kända Mersenneprimtal 4 Externa länkar

Om Mersenneprimtal

Det är okänt huruvida det existerar ett oändligt antal Mersenneprimtal. Hittills har 46 Mersenneprimtal hittats. De största av dessa är också de största kända primtalen, med flera miljoner siffror. Anledningen till att så stora Mersenneprimtal kunnat bestämmas är att det finns en särskilt effektiv algoritm för att avgöra om tal på den här formen är prima, nämligen Lucas-Lehmers test. Det senaste Mersenneprimtalet är 2^{43 112 609}-1. Det upptäcktes den 23 augusti 2008 av Great Internet Mersenne Prime Search (GIMPS) och har 12 978 189 siffror.

De största kända primtalen är av mersennetyp, men långt ifrån alla mersennetal är primtal. Med exponenten 4 erhålls t ex 15, som är ett sammansatt tal. Detta förhållande gäller f ö för samtliga jämna exponenter större än 2, eftersom exponenten då kan skrivas som 2j och mersennetalet faktoruppdelas enligt modellen 2^2j - 1 = (2^j + 1)(2^j - 1).

Resultatet kan generaliseras: Om exponenten är sammansatt är även motsvarande mersennetal sammansatt.

För att ett mersennetal ska kunna utgöra ett primtal måste alltså exponenten vara ett primtal. Inte heller detta villkor är dock tillräckligt. Exempelvis är 2¹¹ - 1 (= 2 047) inget primtal, ty 2 047 = 23*89.

Ett tag trodde man att alla mersennetal med mersenneprimtal som exponenter var primtal, vilket stämmer för 2⁷ - 1, 2³¹ - 1 och 2¹²⁷ - 1. Eftersom 2¹³ - 1 (8 191) är ett primtal borde enligt denna hypotes också 2⁸¹⁹¹ - 1 (2 466-siffrigt!) vara det. Denna fromma illusion brast när man kunde undersöka saken med dator.

Flera liknande primtalshypoteser har sett dagens ljus, men samtliga har kunnat förpassas till papperskorgen. Det finns således ingen allmän tumregel eller "formel", med vilken man kan vaska fram mersenneprimtal.

Sökning efter Mersenneprimtal

Vad är det då som gör mersenneprimtalen så speciella? Jo, en viktig anledning är att det trots allt är "relativt lätt" att avgöra om ett mersennetal är ett primtal eller inte.

Bortsett från några specialfall (de tal som slutar på 0, 5 eller är jämna, liksom de vars siffersumma är jämnt delbar med 3, kan t ex inte vara primtal) finns inga "enkla" sätt att avgöra om ett godtyckligt tal är ett primtal eller inte. Även om det i det allmänna fallet finns bättre metoder än att tillgripa testdivision med samtliga primtal upp till kvadratroten ur talet, så krävs ofta ett enormt räknearbete för att kontrollera primtalsegenskapen. Om detta mindre trevliga perspektiv skriver den amerikanske matematikern Leonard Eugene Dickson (1874-1954):

"För att avgöra huruvida ett tal med 15 eller 20 siffror är ett primtal eller ej, skulle all tid vara otillräcklig, hur mycket man än utnyttjade allt som redan är känt."

Även om Dicksons spådom fått stryka på foten i och med att vi med datorerna fått räkneredskap som man inte kunde drömma om för ett halvsekel sedan, kvarstår faktum att det, även med den kraftfullaste superdator till förfogande, i praktiken är ogörligt att primtalstesta tal bestående av tusentals siffror.

För mersennetal är läget annorlunda. På dessa kan man nämligen applicera ett speciellt kriterium, som den franske amatörmatematikern Édouard Lucas uppställde i slutet av 1800-talet:

Bilda talföljden l[0] = 4, l[i+1] = (l[i]2 - 2) MOD (2p - 1)
För p > 2 är 2p - 1 ett primtal om och endast om l[p-2] = 0, dvs om mersennetalet går jämnt upp i termen med ordningsnumret p-2.

Också denna metod kräver ett mycket stort räknearbete när vi har att göra med mersennetal som består av tiotusentals (och ännu fler) siffror, men i motsats till de algoritmer som måste användas i det allmänna fallet för att avgöra om ett tal är primtal eller inte, är den praktiskt utförbar.

Före datoråldern (dvs fram till början av 50-talet) kände man till 11 mersenneprimtal, av vilka det största var 2¹²⁷ - 1 (39-siffrigt) och man visste inte om det existerade några fler primtal i denna familj.

Lista över alla kända Mersenneprimtal

#	n	Mn	Antal siffror i Mn	Upptäcktsdatum	Upptäckare
1	2	3	1	forntida	forntida
2	3	7	1	forntida	forntida
3	5	31	2	forntida	forntida
4	7	127	3	forntida	forntida
5	13	8191	4	1456	anonym
6	17	131071	6	1588	Cataldi
7	19	524287	6	1588	Cataldi
8	31	2147483647	10	1772	Euler
9	61	2305843009213693951	19	1883	Pervushin
10	89	618970019…449562111	27	1911	Powers
11	107	162259276…010288127	33	1914	Powers
12	127	170141183…884105727	39	1876	Lucas
13	521	686479766…115057151	157	30 januari 1952	Robinson
14	607	531137992…031728127	183	30 januari 1952	Robinson
15	1 279	104079321…168729087	386	25 juni 1952	Robinson
16	2 203	147597991…697771007	664	7 oktober 1952	Robinson
17	2 281	446087557…132836351	687	9 oktober 1952	Robinson
18	3 217	259117086…909315071	969	8 september 1957	Riesel
19	4 253	190797007…350484991	1 281	3 november 1961	Hurwitz
20	4 423	285542542…608580607	1 332	3 november 1961	Hurwitz
21	9 689	478220278…225754111	2 917	11 maj 1963	Gillies
22	9 941	346088282…789463551	2 993	16 maj 1963	Gillies
23	11 213	281411201…696392191	3 376	2 juni 1963	Gillies
24	19 937	431542479…968041471	6 002	4 mars 1971	Tuckerman
25	21 701	448679166…511882751	6 533	30 oktober 1978	Noll & Nickel
26	23 209	402874115…779264511	6 987	9 februari 1979	Noll
27	44 497	854509824…011228671	13 395	8 april 1979	Nelson & Slowinski
28	86 243	536927995…433438207	25 962	25 september 1982	Slowinski
29	110 503	521928313…465515007	33 265	28 januari 1988	Colquitt & Welsh
30	132 049	512740276…730061311	39 751	20 september 1983	Slowinski
31	216 091	746093103…815528447	65 050	6 september 1985	Slowinski
32	756 839	174135906…544677887	227 832	19 februari 1992	Slowinski & Gage on Harwell Lab Cray-2 [1]
33	859 433	129498125…500142591	258 716	10 januari 1994	Slowinski & Gage
34	1 257 787	412245773…089366527	378 632	3 september 1996	Slowinski & Gage
35	1 398 269	814717564…451315711	420 921	13 november 1996	GIMPS / Joel Armengaud
36	2 976 221	623340076…729201151	895 932	24 augusti 1997	GIMPS / Gordon Spence
37	3 021 377	127411683…024694271	909 526	27 januari 1998	GIMPS / Roland Clarkson
38	6 972 593	437075744…924193791	2 098 960	1 juni 1999	GIMPS / Nayan Hajratwala
39	13 466 917	924947738…256259071	4 053 946	14 november 2001	GIMPS / Michael Cameron
40*	20 996 011	125976895…855682047	6 320 430	17 november 2003	GIMPS / Michael Shafer
41*	24 036 583	299410429…733969407	7 235 733	15 maj 2004	GIMPS / Josh Findley
42*	25 964 951	122164630…577077247	7 816 230	18 februari 2005	GIMPS / Martin Nowak
43*	30 402 457	315416475…652943871	9 152 052	15 december 2005	GIMPS / Curtis Cooper & Steven Boone [2]
44*	32 582 657	124575026…053967871	9 808 358	4 september 2006	GIMPS / Curtis Cooper & Steven Boone [3]
45*	37 156 667	202254406…308220927	11 185 272	6 september 2008	GIMPS / Hans-Michael Elvenich
46*	43 112 609	316470269…697152511	12 978 189	23 augusti 2008	GIMPS / Edson Smith

* Det är inte känt om det finns några oupptäckta Mersenneprimtal mellan det 39:e (M_{13 466 917}) och det 46:e (M_{43 112 609}) i den här tabellen, så därför finns risk att ordningen på de sista talen inte stämmer.

Externa länkar

• http://www.mersenne.org/