Triangelolikheten

Från Rilpedia

Texten från svenska Wikipedia

Triangelolikheten är en matematisk olikhet som säger att i en triangel är längden av en viss sida mindre än summan av längderna av de två övriga sidorna, men större än differensen dem emellan.

Den är giltig i en stor uppsätting rum, bland annat för de reella talen.

Innehåll

1 Normerat vektorrum
- 1.1 Reella tallinjen
- 1.2 Komplexa talplanet
2 Metriska rum
3 Följdsats
4 Serier och integraler
5 Se även

Normerat vektorrum

I ett normerat vektorrum $V$ uttrycks triangelolikheten

$\| \mathbf{x} + \mathbf{y} \| \leq \| \mathbf{x} \| + \| \mathbf{y} \|$ för alla $\mathbf{x}, \mathbf{y} \in V$ . Likhet gäller om och endast om $\mathbf{x}$ och $\mathbf{y}$ är parallella.

Reella tallinjen

Den reella tallinjen är ett normerat vektorrum, med absolutbeloppet som norm. Triangelolikheten för de reella talen skrivs därmed

$|x+y| \leq |x|+|y|$ Här gäller likhet om x och y har samma tecken.

Komplexa talplanet

Inom komplex analys ser olikheten ut som följer:

$|z_1+z_2| \leq |z_1|+|z_2|$ Här gäller likhet om

a r g (z 1) = a r g (z 2)

Samtidigt gäller (se följdsatsen nedan) att ett tals absolutbelopp är större än differensen av komponenterna (eller lika med, om $a r g (z 1) = - a r g (z 2)$ ):

$|z_1+z_2| \geq \Big||z_1|-|z_2|\Big|$

Metriska rum

Triangelolikheten ingår som ett av de definierande axiomen för metriken $d$ i ett metriskt rum $\mathcal{M}$ .

Den säger att summan av avståndet mellan två punkter p och q alltid är mindre eller lika med summan av avstånden mellan punkt p och en godtycklig punkt r, samt avståndet från r till q, dvs:

$d(p,q) \leq d(p,r) + d(r,q)$

där d(p,q) betecknar avståndet mellan p och q. Funktionen $d(p,q): \mathcal{M} \to \mathbb{R}$ kallas metriken, eller avståndsfunktionen. Notera att det är avståndet mellan två objekt som definierar rummet, inte tvärt om.