Tb-satsen

Från Rilpedia

Texten från svenska Wikipedia

Tb-satsen är en matematisk sats som säger att en viss singulär integraloperator, T, är en begränsad operator $T: L^p \rightarrow L^p$ om och endast om man kan definiera T för en vissa funktion $b 1$ och man kan definiera T:s transponat T* för en viss funktion $b 2$ . Satsen säger då att man måsta testa operatorn T och transponatet T* för endast dessatvå funktioner $b 1$ och $b 2$ .

Guy David, Jean-Lin Journé och Stephen Semmes bevisade Tb-satsen 1985.

Innehåll

1 Bakgrund
- 1.1 Hilberttransform
2 Antaganden
3 Begränsad med mellansvängning (rummet BMO)
4 Tb-satsen
5 Skiss av bevis
6 Tillämpningar
7 Se även
8 Referenser

Bakgrund

En linjär operator T som opererar på mätbara funktioner i $\R^n$ är en integraloperator om det finns en kärna $K: \R^n \times \R^n \rightarrow \R$ så att man kan formulera

$Tf(x) = \int K(x,y) f(y) \, dy$

för en funktion f och alla $x \in \R^n$ . Tyvärr är ofta den här formeln inte definierad för alla funktioner och inte heller för alla punkter. De här operatorerna kallas singulära. Mer precist, en integraloperator T är en singulär integraloperator om kärnan K inte är definierad inom diagonalen

$\{(x,y):x=y\}\,$

och Tf(x) är definierad bara när

$x \notin \mbox{spt}(f) := \overline{\{f(u) : u \neq 0\}}\,$ ,

dvs Tf(x) är inte definierad i funktionens f underlag.

Den intressanta frågan är: hur kan vi definiera en singulär integraloperator så att den är en begränsad operator $L^p \rightarrow L^p$ där $L^p\,$ är $L p$ -rummet för $\R^n$ ?

Hilberttransform

Till exempel, låt $f \in C^\infty_c (\R)$ , dvs underlaget för f är en kompakt mängd och f är $C^\infty$ . Definiera

$Hf(x) := \int \frac{f(y)}{x-y} \,dy$

för $x \notin \mbox{spt}(f)\,$ , dvs $H\,$ är Hilberttransformen. Då blir kärnan

$K(x,y) = \frac{1}{x-y}$ .

Hilberttransformen är en singulär integraloperator eftersom kärnan har en singulär punkt när $x = y\,$ . Man kan också definiera Hilbertransformen för L^p-funktioner eftersom $C^\infty_c (\R)$ är en tät delmängd i $L^p (\R)$ .

Dessutom, med detta kan man visa att det finns $C_p > 0\,$ så att om $f \in L^p$ så är

$\|Hf\|_p \leq C_p \|f\|_p$ .

Därför är H en begränsad operator $L^p \rightarrow L^p$ .

Kan man även visa detta för generella singulära integraloperatorer? Tb-satsen förklarar att det går.

Antaganden

Inom Tb-satsen behövs några antaganden om testfunktionerna $b 1$ och $b 2$ , kärnan K och operatoren T.

Para-akkretivt antagande för testfunktionen

Låt $b : \R^n \rightarrow \R$ vara en lokalt integrebar funktion. Man sägar att b är en para-akkretiv funktion om det finns $\delta > 0 \,$ så att

$\frac{1}{|Q|}\left|\int_Q b \right| \geq \delta$

för alla kuber $Q \subset \R^n$ där integralen är Lebesgueintegralen och |Q| är kubens Q:s Lebesguemått.

Standardvillkor för kärnan

En kärna $K\,$ är en Calderón-Zygmund kärna om det uppfyller standardvillkoren:

Begränsadvillkor: det finns $C > 0\,$ så att

$|K(x,y)| \leq \frac{C}{|x-y|^n}$

för alla $x \neq y$ .

Tillväxtvillkor: det finns $C > 0\,$ och $\alpha > 0\,$ så att

$|K(x+h,y) - K(x,y)| + |K(x,y+h) - K(x,y)| \leq \frac{C|h|^\alpha}{|x-y|^{n+\alpha}}$

för alla $|h| < \frac{1}{2}|x-y|$ .

Svagt begränsat-villkor för operatorer

Låt $b_1, b_2 \in L^\infty (\R^n)$ vara para-akkretiva funktioner. En linjär operator T är $(b_1,b_2)\,$ -svagt begränsat om det finns $C > 0 \,$ så att

$\left|\int \chi_Q b_2 T(\chi_Q b_1) \right| \leq C|Q|$

för alla kuber $Q \subset \R^n$ .

Begränsad med mellansvängning (rummet BMO)

Man behöver också funktioner som är begränsade med mellansvängning. En lokalt integrebar funktion $f : \R^n \rightarrow \R$ är begränsad med mellansvängning (eng. Bounded with Mean Oscillation) om det finns $C > 0\,$ så att

$\frac{1}{|Q|}\int_Q \left| f(x) - \frac{1}{|Q|} \int_Q f \right| dx \leq C$

för alla kuber $Q \subset \R^n$ . Om en funktion $f : \R^n \rightarrow \R$ är begränsad med mellansvängning skriver man

$f \in \mbox{BMO}(\R^n).$

Tb-satsen

Låt $b_1, b_2 \in L^\infty (\R^n)$ vara para-akkretiva funktioner, dessa kallas testfunktioner. Låt $T\,$ vara en integraloperator som har en Calderón-Zygmund kärna. Antag att $T\,$ är definierad för $b_1\,$ och dessutom $T\,$ :s transponat $T^*\,$ är definierad för $b_2\,$ .

Då är $T\,$ en begränsad operator $L^p \rightarrow L^p$ om och endast om

$T\,$ är $(b_1,b_2)\,$ -svagt begränsad,
$Tb_1 \in \mbox{BMO}(\R^n) \,$ och
$T^* b_2 \in \mbox{BMO}(\R^n)\, .$

Skiss av bevis

Vår idé är att vi första prova Tb-satsen så att vi har en begränsad operator $T : L^2 \rightarrow L^2$ . Det här är den kritiska andelen för det här provet. Nämligen, när vi har $T : L^2 \rightarrow L^2$ det är lätt att prova $T : L^p \rightarrow L^p$ för fixt $1 < p < \infty\,$ eftersom vi kan interpolate med Cotlars olikheten för $1 < p < 2\,$ och sedan använda dualhetet för $2 < p < \infty$ .

Nuförtiden där finns många olika bevis för $T : L^2 \rightarrow L^2$ . En prov är att vi använda dyadisk kuber:

Om $k \in \Z$ så är $Q \subset \R^n$ en dyadisk kub med ordning k, om där finns $\overline{m} \in \Z^n$ så att

$Q = [0,2^k[^n \, + \, 2^k \overline{m}\, .$

Vi betäckna $\mathcal{D}_k$ av familj av alla dyadisk kuber med ordning k i $\R^n$ och

$\mathcal{D} := \bigcup_{k \in \Z} \mathcal{D}_k .$

För varje $k \in \Z$ dyadiska kuber med ordning k är en stratifiering av $\R^n$ och vi har:

$Q,Q' \in \mathcal{D}_k \quad \Rightarrow \quad Q \cap Q' = \emptyset \quad \or \quad Q \subset Q' \quad \or \quad Q' \subset Q.$

Vi har en begränsad operator $T : L^2 \rightarrow L^2$ om och endast om vi kan bevisa att

$\|Tf\|_2 \leq C\|f\|_2\,$

för alla $f \in L^p$ . Eftersom $L^2(\R^n)$ är en Hilbertrummet med inre produkten

$\langle f,g \rangle := \int_{\R^n} fg$

så man kan använda inom funktionalanalys så att

$\|Tf\|_2 = \sup \{| \langle g,Tf \rangle | : g \in L^2, \|g\|_2 \leq 1\}\, .$

Därför, vi måste använda att

$| \langle g,Tf \rangle | \leq C\|f\|_2 \|g\|_2$

för alla $g \in L^2\,$ och $\|g\|_2 \leq 1\,.$

För $k \in \Z$ och en para-akkretiv funktion $b : \R^n \rightarrow \R$ definiera sannolikhetsteoretiska begrepper "väntevärder" och "spridninger":

k-väntevärde: $\mathbb{E}_k f := \sum_{Q \in \mathcal{D}_k} \left( \frac{1}{|Q|}\int_Q f\right) \chi_Q$
k-spridning: $\mathbb{D}_k f := \mathbb{E}_{k-1} f - \mathbb{E}_k f$
b-viktad k-väntevärde: $\mathbb{E}_k^b f := b\frac{\mathbb{E}_k f}{\mathbb{E}_k b}$
b-viktad k-spridning: $\mathbb{D}_k^b f := \mathbb{E}_{k-1}^b f - \mathbb{E}_k^b f$

Med Carlesons inbäddningsats vi kan visa att

$f = \sum_{k \in \Z} \mathbb{D}_k^b f$

för $f \in L^2\,$ med konvergens vid $L 2$ -norm. Med svagt begränsat-villkor och standardvillkor man kan visa att för $g \in L^2\,$ med $\|g\|_2 \leq 1\,$ vi har

$|\langle g,Tf \rangle | = \left|\sum_{k \in \Z} \langle g,[(\mathbb{E}_k^{b_2})^* T \mathbb{D}_k^{b_1} + (\mathbb{D}_k^{b_2})^* T \mathbb{E}_k^{b_1} + (\mathbb{D}_k^{b_2})^* T \mathbb{D}_k^{b_1} ]f \rangle \right| .$

Å andra sidan för en para-akkretiv funktion b, en dyadisk kub $Q \in \mathcal{D}_k$ , $Q = \bigcup_{u = 1}^{2^n} Q_u$ , var $Q_u \in \mathcal{D}_{k-1}$ , och $1 \leq u \leq 2^n$ definirar vi en Haarfunktion $\varphi_{Q,u}^b : \R^n \rightarrow \R$ så att

$\phi_{Q,u}^b (x) := \sqrt{\frac{\int_{Q_u} b \int_{\cup_{p=u+1}^{2^n} Q_p} b}{\int_{\cup_{p=u}^{2^n} Q_p} b}} \left(\frac{\chi_{Q_u} (x)}{\int_{Q_u} b} - \frac{\chi_{\cup_{p=u}^{2^n} Q_p} (x)}{\int_{\cup_{p=u}^{2^n} Q_p} b} \right)$

Med Haarfunktioner man kan använda b-viktad k-väntevärder och -spridningar så att man har:

$\left|\sum_{k \in \Z} \langle \mathbb{D}_k^{b_2} g, T \mathbb{D}_k^{b_1} f \rangle\right| \leq C_3 \|f\|_2\|g\|_2.$

Med BMO-rummets tillämpningar, paraprodukter, Carlesons inbäddningsats och liten dyadisk analys man har:

$\left|\sum_{k \in \Z} \langle \mathbb{E}_k^{b_2} g, T \mathbb{D}_k^{b_1} f \rangle\right| \leq C_1 \|f\|_2\|g\|_2.$

Förra är symmetrisk med $\langle \mathbb{D}_k^{b_2} g, T \mathbb{E}_k^{b_1} f \rangle$ , dvs man har:

$\left|\sum_{k \in \Z} \langle \mathbb{D}_k^{b_2} g, T \mathbb{E}_k^{b_1} f \rangle\right| \leq C_2 \|f\|_2\|g\|_2.$

Därför vi har med triangelolikheten att

$|\langle g,Tf \rangle | \leq \max\{C_1,C_2,C_3\} \|f\|_2\|g\|_2$ ,

dvs Tb-satsen.

Tillämpningar

Hilberttransformen $Hf\, ,$

$Hf(x) = \int \frac{f(y)}{x-y} \,dy$ ,

är en begränsad operator $L^p \rightarrow L^p$ eftersom man kan testa Hilbertransformen med para-akkretiva testfunktioner

$b_1 = b_2 = 1\, .$

Cauchytransformen $\mathcal{C}_\Gamma f\, ,$

$\mathcal{C}_\Gamma f(x) := \int \frac{f(y)}{x-y-i(\Gamma(x) - \Gamma(y))} \,dy$ ,

är en begränsad operator $L^p \rightarrow L^p$ eftersom man kan testa Cauchytransformen med para-akkretiva testfunktioner

$b_1 = b_2 = 1+i\Gamma ' \, .$

Här $\Gamma : \R \rightarrow \R\,$ är en Lipschitzfunktion vilket ger att derivatan $\Gamma '\,$ finns nästan överallt.

Se även

Referenser

Guy David, Jean-Lin Journé, Stephen Semmes, Opérateurs de Calderón-Zygmund, fonctions para-accrétives et interpolation, Rev. Mat. Iberoamericana 1(4): 1 - 56, 1985.

Tb-satsen

Från Rilpedia

Innehåll

Bakgrund

Hilberttransform

Antaganden

Para-akkretivt antagande för testfunktionen

Standardvillkor för kärnan

Svagt begränsat-villkor för operatorer

Begränsad med mellansvängning (rummet BMO)

Tb-satsen

Skiss av bevis

Tillämpningar

Se även

Referenser

Visningar

Personliga verktyg

Sök

Navigering

Bibeln

Övrigt

Verktygslåda