Skalär
Från Rilpedia
Skalär (av franska scalaire, av senlatin scaláris, ’som hör till stege eller trappa’, av scalae, ’trappor’), används i matematik och fysik ofta om en storhet som kan beskrivas med hjälp av ett enda tal, till skillnad från vektorer av högre dimension än ett. Ofta uppfattas skalärer som storheter utan riktning, igen till skillnad från vektorer. I elementär matematik är det därför vanligast att skalär används som en synonym till "reellt tal". I elementär fysik betecknar fart en skalär storhet av sorten längd/tid, men hastighet en vektoriell storhet av samma sort, därför att hastigheten också tänkes ha en riktning. Skalärer uppfattas ibland som vektorer av dimension ett eller som tensorer av nollte ordningen.
"Skalär" kan också i andra sammanhang användas för element i någon annan talkropp, till exempel som synonymt med komplext tal, eller som element i en allmän (algebraisk) kropp, eller ännu allmännare om element i en given kommutativ unitär ring. Mer formellt är i linjär algebra eller högre algebra skalärerna med avseende på ett linjärt rum A eller allmännare skalärerna med avseende på en modul A elementen i den kropp respektive den ring över vilken A är definierat. Uttrycket kan också användas för storheter som på ett naturligt sätt kan identifieras med elementen i kroppen eller ringen av skalärer, som elementen i ett ettdimensionellt linjärt rum respektive en fri modul av rang ett, med en given bas.
Ett viktigt exempel på det sista är när det linjära rummet eller modulen A också i sig själv har en struktur som unitär ring, med multiplikativ enhet e, säg, på ett sådant sätt att A blir en algebra över kroppen eller ringen av skalärer, och att λe ≠ 0 för varje nollskild skalär λ. Elementet λe kan då på ett naturligt sätt identifieras med λ, och därför uppfattas som en skalär. Därför kallas ibland ett reellt tal gånger en enhetsmatris för en skalärmatris, och realdelen av en kvaternion för skalärdelen.
Innehåll |
Ordets ursprung
Ordet skalär kommer från det latinska ordet scala som betyder stege. Enligt ett citat i Oxford English Dictionary beskrevs termen första gången (av W. R. Hamilton 1846) just med avseende på kvaternioner:
- "Den algebraiska realdelen kan anta, beroende på sammanhanget i vilken den förekommer, alla värden på tallinjen (the one scale of progression of numbers) från negativ till positiv oändlighet; vi ska därför kalla den skalär del."
Skalär som matematiskt begrepp
Formellt och allmänt gäller att R är en kommutativ unitär ring, så definieras en modul A över R som en additiv abelsk grupp A tillsammans med en multiplikation med skalärer, det vill säga en funktion μ : R×A→A, som man normalt betecknar med sammanskrivning (alltså ra i stället för μ(r,a)), och som för alla r och s i R och alla a och b i A uppfyller
- r(a+b) = ra+rb, (r+s)a = ra+sa, (rs)a = r(sa),
samt att
- 1R a = a,
där 1R är det multiplikativa enhetselementet i R. I detta sammanhang kallas elementen i R skalärer.
Skalär som fysikaliskt begrepp
Inom fysiken används skalärer för att representera en fysikalisk kvantitet, något som har en magnitud, men inte någon riktning. En skalär kvantitet kan också beskrivas som en kvantitet som är invariant vid rotation, och andra ortogonala transformationer (på koordinatsystemet), eller, i samband med relativitet, något som är invariant vid Lorentztransformation.
Pseudoskalär
Inom fysiken används också begreppet pseudoskalärer. Dessa uppkommer då pseudovektorer kombineras med varandra. Ett exempel är trippelprodukten A = B · C × D där B, C och D är pseudovektorer. Med pseudovektorer kan volymen, som trippelprodukten geometrisk representerar, bli negativ! En pseudoskalär är inte alltid invariant vid ortogonala transformationer (på koordinatsystemet), till exempel vid en oegentlig rotation.
Skalära kvantiteter
Exempel på (icke-relativistiska) skalära kvantiteter inom fysiken:
Skalär som musikaliskt begrepp
Medlemmarna i studentorkestern Skalärmusiken benämnes skalärer; se SMusK.
