Grassmannmått

Från Rilpedia

Hoppa till: navigering, sök

Texten från svenska Wikipedia

Ett Grassmannmått är ett mått i linjär algebra, namngett efter den tyska matematikern Hermann Grassmann.

Innehåll

1 Formell definition
2 Egenskaper
3 Favardmått
4 Se även

Formell definition

Låt $0 < m < n\,$ vara heltal och bilda Grassmannmångfalden $G(n,m)\,$ . Definiera en funktion från ortogonalgruppen $O(n)\,$ till $G(n,m)\,$ på följande sätt:

$\Xi_V : O(n) \rightarrow G(n,m)\,$ , så att $\Xi_V(g) = gV.\,$

Grassmannmåttet $\gamma_{n,m}\,$ ett bildmått:

$\gamma_{n,m} := \Xi_{V\#} \theta_n, \,$

dvs för $A \subset G(m,n)\,$

$\gamma_{n,m} (A) = \theta_n (\{g \in O(n) : gV \in A\}).$

Här är $\theta_n\,$ det vridningsinvariant måttet i $O(n)\,$ .

Egenskaper

Eftersom måttet $\theta_n\,$ är vridningsinvariant så är Grassmannmåttet också "vridningsinvariant":

$\gamma_{n,m} (gA) = \gamma_{n,m} (A),\,$

för $A \subset G(m,n)\,$ . Här

$gA := \{gW : W \in A\}.\,$

Eftersom Grassmannmåttet är vridningsinvarianta beror det inte på vilket delrum V man väljer. Därför väljer man ofta delrummet $V = \R^m$ .

Favardmått

Huvudartikel: Favardmått

Man definierar det Favardmåttet med hjälp av Grassmannmåttet. För heltalen $0 < m < n\,$ är det m-dimensionella Favardmåttet med en parameter 1 ett Borelmått $\mathcal{I}^m_1 : \mbox{Bor}\,\R^n \rightarrow [0,\infty]$ , definierad som: