Exponentialfunktion

Från Rilpedia

Hoppa till: navigering, sök

Texten från svenska Wikipedia

Exponentialfunktionen är en matematisk funktion. Den betecknas

$\ y = e^x$

eller

$\ y = \exp(x)$

där e är basen i den naturliga logaritmen. För reella x är y alltid positivt, och växer då x växer. Den inversa funktionen är den naturliga logaritmen, vilken är definierad för alla positiva värden.

För rent imaginära tal x är exponentialfunktionen periodisk: Om x = it där t är ett reellt tal och i den imaginära enheten, så gäller att

$e^{it} = \cos(t) + i \, \sin(t), \qquad e^{i(t + 2\pi)} = e^{it}.$

Egenskaper

En mer generell exponentialfunktion kan konstrueras genom att sätta

$\ a^x = e^{x \ln(a)}$

där a > 0 kallas basen. Det är på detta sätt det definieras för komplexa tal, närmare bestämt som

$\ a^b := \exp(b \log a)$ , där

log

betecknar en lämplig gren av den komplexa (flervärda) logaritmen.

Några räkneregler (gäller för alla $a\neq0$ ):

$\ a^0 = 1 \,\!$

$\ a^1 = a \,\!$

$\ a^{-x} = {1 \over a^x}\,\!$

$\ a^xa^y = a^{x+y}\,\!$

$\ {a^x \over a^y} = a^{x-y}\,\!$

$\ a^{xy} = (a^x)^y\,\!$

$\ (ab)^x = a^xb^x\,\!$

$\ a^{x/n} = \sqrt[n]{a^x}\,\!$

Derivator och differentialekvationer

Derivatan av en exponentialfunktion är åter en exponentialfunktion, närmare bestämt

${d \over dx}e^{kx} = ke^{kx} \,\!$

eller allmänt

$\ {d \over dx}a^{kx} = \ln(a)ka^{kx} \,\!$

Detta ger att en differentialekvation av första ordningen

${dy \over dx} + ay = 0$

har följande lösning

$\ y = Ce^{-ax}$

Detta uttryck används för att beräkna ränta på ränta, radioaktiva ämnens sönderfallshastighet och det ger en approximation av tillväxten av en population då denna är så liten att medlemmarna i populationen inte konkurrerar nämnvärt med varandra om resurser.

Se vidare om differentialekvationer av första ordningen.

Definition

Det finns minst fem olika sätt att definiera exponentialfunktionen som en funktion vars definitionsmängd är de reella talen och vars värdemängd är de positiva reella talen:

Som en potensserie:

$e^x = \sum_{n=0}^\infty \frac{x^n}{n!}=1+x+\frac{x^2}{1 \cdot 2}+\frac{x^3}{1\cdot 2 \cdot 3} + \frac{x^4}{1\cdot 2 \cdot 3 \cdot 4} + \cdots;$
Som den unika lösningen till följande integralekvation:

$f(x) = 1 + \int_0^x f(y) \, dy;$
Som talet e upphöjt till talen x;
Som den inversa funktionen till den naturliga logaritmfunktionen;
Som en gränsfunktion:

$e^x = \lim_{n\to\infty}\left(1 + \frac{x}{n}\right)^n.$

Av dessa kan definitionerna 1 och 5 generaliseras till att gälla mer abstrakta rum är de reella talen. Exempelvis kan man definiera en "exponentialfunktion" i så kallade Banachalgebror; dessa är Banachrum med den extra strukturen att en produkt av två element i Banachrummet förblir ett element i Banachrummet.

Har man väl valt en av ovanstående framställningar som definition av exponentialfunktionen så kommer de övriga fyra att vara teorem om exponentialfunktionens egenskaper.

Se även

Exponentialfunktion

Från Rilpedia

Innehåll

Egenskaper

Derivator och differentialekvationer

Definition

Se även

Visningar

Personliga verktyg

Sök

Navigering

Bibeln

Övrigt

Verktygslåda

På andra språk