Potensserie

Från Rilpedia

Hoppa till: navigering, sök

Texten från svenska Wikipedia

En potensserie (i en variabel) är en serie på formen

$f(x) = \sum_{n=0}^\infty a_n(x-c)^n = a_0 + a_1(x-c) + a_2(x-c)^2 + \dots$

där koefficienterna $a n$ , centrumpunkten $c$ och variabeln $x$ vanligtvis är reella eller komplexa tal. Serier av den här typen dyker upp i samband med Taylorserier.

I många sammanhang är $c$ lika med noll, till exempel för en Maclaurinserie. I dessa fall får potensserien det något enklare utseendet

$f(x) = \sum_{n=0}^\infty a_n x^n = a_0 + a_1 x + a_2 x^2 + \dots$

Sådana här potensserier dyker främst upp inom analysen, men också inom kombinatoriken (som genererande funktioner) och elektrotekniken (i Z-transformen). Faktum är att decimalnotationen för heltal kan ses som en potensserie med $x$ fixerad till 10.

Egenskaper

En potensserie $f(x)=\sum _{k=0} ^\infty a_k x^k$ kan för x innanför konvergensradien deriveras och integreras enligt

$\int \left( \sum _{k=0} ^\infty a_k x^k \right) dx = \sum _{k=0} ^\infty \frac{a_{k} x^{k+1} }{k+1}+C$

$\frac{d}{dx} \left( \sum _{k=0} ^\infty a_k x^k \right) = \sum_{k=0} ^\infty k a_k x^{k-1}$

Exempel

Ett polynom kan enkelt uttryckas som en potensserie runt något centrum $c$ , även om de flesta koefficienterna blir lika med 0. Till exempel så kan polynomet $f (x) = x 2 + 2 x + 3$ skrivas runt $c = 0$ som

$f(x) = 3 + 2x + 1x^2 + 0x^3 + 0x^4 + \dots$