Logaritm

Från Rilpedia

(Omdirigerad från Naturliga logaritmen)
Hoppa till: navigering, sök
Wikipedia_letter_w.pngTexten från svenska WikipediaWikipedialogo_12pt.gif
rpsv.header.diskuteraikon2.gif
icon_anmal.gif
rp-wp-sv.gif
Logaritmfunktioner, ritade som grafer för olika baser: röd är med bas e, grön är med bas 10, och lila är med bas 1.7. Varje ruta på axlarna är en enhet. Logaritmen för samtliga baser passerar punkten (1, 0), eftersom alla tal upphöjda i 0 är 1, och genom punkterna (b, 1) för basen b, eftersom ett nummer upphöjt i 1 är sig självt. Kurvorna närmar sig y-axeln men når den inte på grund av den matematiska singulariteten vid x = 0.

Logaritmen för ett tal (a) är den exponent (x) som man måste upphöja ett givet tal (basen b) till för att få a,

\ a = b^x.

Innehåll

Reella logaritmen

För reella tal måste a > 0 och b > 0. Däremot kan logaritmen x anta godtyckligt värde i intervallet (-∞, ∞). Om a = bx kallas x logaritmen av a i basen b och man skriver x = logba.

Dessa logaritmer infördes av skotten John Napier på 1600-talet.

Tiologaritmen eller briggska logaritmen

Graf över tiologaritmen

Ett praktiskt val av bas när man använder den decimala notationen är den briggska logaritmen (10-logaritmen): den exponent x till vilken man ska upphöja 10 för att få talet a:

a = 10^x \Leftrightarrow x = \log_{10}a.

Andra beteckningssätt för log10 a är log a och lg a.

I många sammanhang är det dock enklare att använda den naturliga logaritmen då man slipper en konstant för att konvertera till just den naturliga logaritmen.

Naturliga logaritmen (logaritmus naturalis)

En speciell bas är e, basen för den naturliga logaritmen. Beteckningen för \log_e\, a är \ln \,a.

Detta ger sambanden

a = e^x \Leftrightarrow x = \ln a.

En viktig anledning till man använder denna logaritm är att den är den inversa funktionen till exponentialfunktionen ex.

En intressant egenskap hos den naturliga logaritmfunktionen är att dess derivata är 1/x. Detta gör att den fyller ut en lucka bland de primitiva funktionerna till potensfunktioner:

\int x^n dx= \left\{\begin{matrix}\frac {x^{n+1}} {n+1} +C & \mbox{om }n\ne -1\\ \ln x+C& \mbox{om }n=-1 \end{matrix}\right.

n = − 1 leder till division med noll, vilket är otillåtet. För varje tal nära − 1 kommer "första primitiva funktionen" att vara godtyckligt nära ln(x). Därför kan logaritmen ses som en kontinuerlig utvidgning av polynomen, ett faktum som även kan motiveras genom att betrakta vissa speciella gränsfall av interpolationspolynomen (kanske enklast via Newtons interpolationspolynom).

Se även

Definitionen av den naturliga logaritmens bas talet e.

Komplexa logaritmen

Den flervärda komplexa logaritmen log definieras som urbilden till exponentialfunktionen, det vill säga

\log : \mathbb C \to 2^\mathbb C,\ z\mapsto \{w\in \mathbb C : \exp w = z\}

Vilket också kan uttryckas som

\ \log z = \ln |z| + i\arg z

där + innebär addition av vektormängder och arg är argumentsfunktionen. Den komplexa logaritmen uppfyller alla räkneregler för den reella logaritmen. Man kan studera en gren av logaritmen, som då blir en envärd funktion. För principalgrenen Log används principalgrenen av argumentsfunktionen, dvs \mathrm{Im}\ \mathrm{Log}\ z\in(-\pi,\pi].

Diskreta logaritmen

På samma sätt som ovan kan man definiera en logaritm i en godtycklig ändlig kropp. Det är då ett väldefinierat begrepp eftersom en kropp under multiplikation (andra kompositionsoperatorn) är isomorf med en cyklisk undergrupp. Som bas för logaritmen väljer man en generator för denna cykliska grupp. Utvidgningen är helt analog med reella logaritmer. När man bekantat sig med den känns den också ganska naturlig att räkna med. Skillnaden mellan reella logaritmer och diskreta logaritmer är att den diskreta logaritmen alltid blir ett heltal. I övrigt har diskreta och reella logaritmen likartade lagar och följer ungefärligen samma teori.

Till skillnad från vanliga (reella) logaritmer är det generellt sett svårt att hitta logaritmen för ett givet tal. Man kallar detta diskreta logaritmproblemet. Faktum är att det är så svårt, att man använder denna svårighet för att konstruera säker kryptering. Poängen är att det är lätt att verifiera en föreslagen logaritm, men svårt att finna den. Metoden påminner om hur man i krypteringsalgoritmer utnyttjar problemet med finna primtalsfaktorisering av stora tal.

Derivata

Derivatan av en logaritmfunktion

y = \log_b\,x

är

\frac{dy}{dx} = \frac 1 {x \ln b}.

Speciellt är D(\ln x)=\frac 1 x (se ovan).

Logaritmlagarna

  • \ \log_a(xy) = \log_a(x)\,+\,\log_a(y)
  • \ \log_a \left(\frac{x}{y} \right) = \log_a(x)-\log_a(y)
  • \ \log_a(x^p)=p\,\log_a(x)
  • \ \log_a x=\frac {\log_b x}{\log_b a}=\frac{\ln x}{\ln a}

Exempel

Logaritmernas främsta ursprungliga nytta var att de ersatte långa sekvenser av multiplikationer till mindre tidskrävande sekvenser av additioner. Antag att vi ska beräkna talet 2 \cdot 5 utan att använda multiplikation. Man kan då göra på följande sätt:

Beräkna \log (2) \approx 0,30103, \log (5) \approx 0,69897 och lägg ihop dem. \log(2) + \log(5) \approx 1,00000. Å andra sidan vet vi genom logaritmlagarna att summan blir \log(2) + \log(5) = \log(2 \cdot 5). Om vi nu tar reda på vilket tal som har logaritm 1,00000 har vi beräknat produkten, utan att utföra någon multiplikation. Svaret här är, naturligtvis, 10.

I datorernas ålder har denna användning i stort sett försvunnit, men andra mer teoretiska aspekter av logaritmen används i minst lika hög grad idag.

Exempel (reella logaritmen)

Logaritmerna kan användas för att lösa vissa ekvationer. Säg att vi vill finna x i ekvationen 10x = 1000. Ett enkelt sätt är att inse att 10^3 = 10 \cdot 10 \cdot 10 = 1000, d.v.s. att lösningen är alltså x = 3. Ett annat sätt utnyttjar logaritmer:

Tag 10-logaritmen av båda sidor.

log(10x) = log(1000)

Utnyttja logaritm-lagarna.

x \cdot \log(10) = \log (1000)

Slå log(10) och log(1000) på miniräknaren. Då får man log(10) = 1 och log(1000) = 3, alltså har vi ekvationen x \cdot 1 = 3. Lösningen är alltså x = 3, precis som vi kom fram till tidigare. Skillnaden är att vi använt logaritmer för att lösa den, medan vi tidigare "såg" lösningen. Fördelen med logaritm-lösningen är att den fungerar även om vi har en ekvation som 10x = 1234, som inte har en heltalslösning (enligt Gelfond–Schneiders sats kommer lösningen dessutom att vara transcendent, d.v.s. talet går inte att beskriva algebraiskt).

Exempel (diskreta logaritmen)

På samma sätt som ovan kan man använda diskreta logaritmer för att lösa ekvationer i godtyckliga kroppar. Här visas hur man bestämmer diskreta logaritmer i en given kropp.

För exemplets skull, kommer vi att betrakta Galois-kroppen av ordning 27, GF(33). Vi noterar att den inte är isomorf med till exempel \mathbb{Z}_{27}. (Den är inte en kropp exempelvis därför att den har nolldelare – betraktar man kroppar isomorfa med \mathbb{Z}_p där p = primtal kan resonemanget förenklas ganska mycket.) Vidare genereras den av ett kubiskt irreducibelt polynom över \mathbb{Z}_3 via Kroneckers konstruktion. Ett sådant irreducibelt polynom är x3 + 2x + 1 vilket inses genom att manuellt undersöka de möjliga rötterna eller kanske enklare genom att använda Fermats lilla sats. Därmed har vi en kropp \mathbb{Z}_3[x]/<x^3+2x+1> med 27 element som kommer att vara isomorf med GF(27). I den kan man nu beräkna diskreta logaritmer.

Låt oss här återge stegen vi tagit lite mer detaljerat. Vi har hittat ett irreducibelt polynom över \mathbb{Z}_3. Då kommer \mathbb{Z}_3[x]/<x^3+2x+1> att bli

  • en kropp, som
  • genereras av ett principalt ideal.

Detta förklaras på följande sätt. Dels är \mathbb{Z}_3 en kropp och därför är varje ideal i \mathbb{Z}_3[x] principalt. Dels är polynomet x3 + 2x + 1 irreducibelt. Därför är < x3 + 2x + 1 > ett maximalt ideal. Och därför är kvotringen \mathbb{Z}_3[x]/<x^3+2x+1> inte bara en kvotring, utan en kropp.

Låt oss ta reda på vad elementet/sidoklassen x2 + 1 har som diskret logaritm. Genom att successivt beräkna potenser x^n, n = 0, 1, \ldots, 26 fås att första gången xn = x2 + 1 är när n = 21. En sådan lista ser ut ungefär så här:

  • \ n = 0, \ x^{0} = 1
  • \ n = 1, \ x^{1} = x
  • \ n = 2, \ x^{2} = x^2
  • \ n = 3, \ x^{3} = x+2
  • \ n = 4, \ x^{4} = x^2+2x
  • \ n = 5, \ x^{5} = 2x^2+x+2
  • \ n = 6, \ x^{6} = x^2+x+1
  • \ \ldots
  • \ n = 21, \ x^{21} = x^2+1

Därför är logx(x2 + 1) = 21. Notera att det var nödvändigt att gå igenom ett stort antal exponenter n = 0, 1, \ldots för att hitta den vi sökte. Det finns bättre algoritmer för att hitta diskreta logaritmen. Men även med dessa är det generellt sett en tidsödande process, eftersom man kan konstruera kroppar av mycket hög ordning.

Antilogaritm

Antilogaritmen är ett annat namn för potens. Även om termen visserligen används är det ett inte helt lyckat bruk, eftersom potens är konventionen.

Hämtad från "https://sv.rilpedia.org/wiki/Logaritm"
Personliga verktyg