Argument (matematik)
Från Rilpedia
Argumentet för ett komplext tal z definieras som vinkeln i positivt led i det komplexa talplanet mellan positiva realaxeln och sträckan mellan origo och z. Argumentet är definierat för alla komplexa tal utom 0. Skrivet man z på polär form, z=reiθ, där r ≥ 0 och θ är reella tal, är θ argumentet. Argumentet av ett tal är alltid reellt.
Innehåll |
Argumentet som funktion av z
För ett komplext tal z kan man skriva argumentet som arg z, där arg är en flervärd funktion. Eftersom man kan snurra på z ett varv runt origo (vilket motsvarar en vinkeländring på 2π) och fortfarande behålla samma värde för z, har arg(z) oändligt många värden, vilka ligger med ett mellanrum på 2π mellan varandra. Argumentet av z kan man även få genom att ta imaginärdelen av den komplexa logaritmen av z.
Principialargumentet
Eftersom arg är flervärd, vill man ibland definiera en gren för arg så att man kan associera ett komplext tal till en enskild vinkel; på så sätt kan man räkna ut vinkelförändringen för en komplex variabel så länge den inte rör sig över grenens snitt. Ibland är det också önskvärt att få ut ett konkret värde för vinkeln (till exempel i miniräknare) i stället för ett uttryck som ger oändligt många vinklar. Ett exempel på en sådan gren är principialargumentet Arg z, där Arg är en envärd funktion vars värdemängd är intervallet (-π, π]. Denna gren använder man ofta när man vill definiera en gren av en funktion som är uttryckt med hjälp av arg.
Andra grenar
Ibland kan det även vara önskvärt att använda andra grenar av arg än principialargumentet. Till exempel används ofta den gren där vinklarna ligger i intervallet [0, 2π).
När man löser kurvintegraler där den primitiva funktionen uttrycks med hjälp av arg, kommer ibland kurvan att gå över snittet för principialargumentet, vilket orsakar problem om man använder den grenen. I den kurva som man integrerar efter måste den primitiva funktionen vara kontinuerlig, vilken inte en gren är i sitt snitt om den har något sådant. En lösning till detta kan ibland vara att använda sig av en annan gren, vars snitt inte korsar kurvan. Man kan även dela upp integralen i olika delar, vilka man löser med hjälp av olika grenar.
