Sannolikhetsrum

Från Rilpedia

Texten från svenska Wikipedia

Ett sannolikhetsrum är inom sannolikhetsteori ett begrepp som samlar ihop begreppen utfall, händelse och sannolikhet. Sannolikhetsrum definierades av Andrej Kolmogorov under 1930-talet.

Innehåll

1 Definition
2 Tillämpningar
3 Förteckningar
4 Konvergenssatser
5 Se även

Definition

Låt $\Omega\,$ vara en icke-tom mängd och $\mathcal{F}$ en sigma-algebra i $\Omega\,$ . En funktion $\mathbb{P} : \mathcal{F} \longrightarrow [0,1]$ är ett sannolikhetsmått eller sannolikhet på sigma-algebran $\mathcal{F}$ om den besitter de två egenskaperna:

Funktionen $\mathbb{P}$ är ett mått
$\mathbb{P}(\Omega) = 1 .$

Ett sannolikhetsrum är en trippel $(\Omega,\mathcal{F},\mathbb{P})$ . $\Omega\,$ är utfallsrummet och elementen i sigma-algebran kallas händelser.

Notera att ett sannolikhetsmått är en reellvärd mängdfunktion, eftersom den avbildar en mängd, $A \subseteq \Omega$ , på ett reellt tal, $\mathbb{P}(A)$ (sannolikheten för händelsen A).

Tillämpningar

Sannolikhetsrum är en effektiv struktur för att beskriva många praktiska sannolikhetsproblemen.

Klassiska sannolikhetsrum

Huvudartikel: Klassisk sannolikhetsdefinition

Man kan beskriva den klassiska sannolikhetsdefinitionen med ett sannoklikhetsrum. Då blir utfallsrummet

$\Omega = \{\omega_1,\omega_2,...,\omega_n\}\, ,$

där $n \in \N$ och sannolikhetsmåttet är $\mathbb{P} : \mathcal{P}(\Omega) \longrightarrow [0,1]$ ,

$\mathbb{P}(A) = \frac{|A|}{n},$

där $| A |$ är kardinaliteten för mängden A.

Geometriska sannolikhetrum

Huvudartikel: Geometrisk sannolikhetsdefinition

Om $(X,\mathcal{F},\mu)$ är ett måttrum där $\mu(X) < \infty$ kan man definiera ett sannolikhetsmått $\mathbb{P}_\mu : \mathcal{F} \longrightarrow [0,1]$ ,

$\mathbb{P}_\mu (A) := \frac{\mu(A)}{\mu(X)}.$

Det geometriska sannolikhetsrummet för måttet $\mu\,$ är en trippel $(X,\mathcal{F},\mathbb{P}_\mu)$ .

Ofta använder man 1-, 2- eller 3-dimensionella Lebesguemåttet i mängden.

Om $|X| < \infty$ , $\mathcal{F} = \mathcal{P}(X)$ och $\mu = |\cdot| \,$ (kardinalitet som är ett mått), så är den geometriska sannolikheten samma som klassiska sannolikheten.

Sannolikhetsfördelningrum

Huvudartikel: Sannolikhetsfördelning

Man kan beskriva sannolikhetsfördelningar med ett sannoklikhetsrum. Låt $(\Omega,\mathcal{F},\mathbb{P})$ vara ett sannolikhetsrum och $X : \Omega \longrightarrow \R$ en stokastisk variabel. Sannolikhetsfördelningrummet för X är

$(\R,\mbox{Bor}\,\R,\mathbb{P}_X)\, ,$

där

$\mathbb{P}_X := X_\# \mathbb{P}\, ,$

dvs utfallsrummet är reella talen, händelserna är Borelmängder och sannolikhetsmåttet är $\mathbb{P}$ :s bildmått $X_\# \mathbb{P}$ med avseende på X och kallas X:s sannolikhetsfördelning.

Förteckningar

Bara med måtteoretiska definitioner man kan definiera många naturlig förteckningar inom sannolikhetsteori.

Stokastisk variabel

Huvudartikel: Stokastisk variabel

Stokastik variabel är en mätbar funktion med avseende på sannolikhetmåttet.

Mer precist, låt $(\Omega,\mathcal{F},\mathbb{P})$ vara ett sannolikhetsrum. En funktion $X : \Omega \longrightarrow \R$ är en stokastisk variabel om

$X^{-1} (B) \in \mathcal{F}$ för alla Borelmängder $B \in \mbox{Bor} \R .$

Detta innebär att en funktion $X\,$ är $\mathcal{F}$ -mätbara.

Väntevärde

Huvudartikel: Väntevärde

Väntevärde för en stokastik variabel är en måttintegral med avseende på sannolikhetmåttet.

Mer precist, om låt $(\Omega,\mathcal{F},\mathbb{P})$ vara ett sannolikhetsrum. Om $X : \Omega \longrightarrow \R$ är en stokastisk variabel så är en väntevärde för X ett tal

$\mathbb{E}(X) := \int\limits_\Omega\,X\,d\mathbb{P}$ .

Här är $\int d\mathbb{P}$ en måttintegral med avseende på måttet $\mathbb{P}$ .

Varians och kovarians

Huvudartiklar: Varians och Kovarians

Man kan definiera en varians och en konvarians med väntevärde.

Variansen för ett stokastisk variabel $X : \Omega \longrightarrow \R$ , med $\mathbb{E}(X^2) < \infty$ , är talet

$\mathbb{D}^2 (X) := \mathbb{E}(X - \mathbb{E}(X))^2$ ,

och kovarians mellan två stokastiska variabeler $X,Y : \Omega \longrightarrow \R$ är ett tal

$\mbox{Cov}(X,Y) := \mathbb{E}[(X - \mathbb{E}(X))(Y - \mathbb{E}(Y))]$ .

Konvergenssatser

Eftersom sannolikhetsmåttet är ett mått och stokastiska variabeler är mätbara får man alla konvergenssatser också för sannolikhetsrummet.

Händelsekonvergenssatsen:

Om $A_1 \subseteq A_2 \subseteq A_3 \subseteq ...$ är händelser så är

$\mathbb{P}\left(\bigcup_{i=1}^\infty A_i\right) = \lim_{i \rightarrow \infty} \mathbb{P}(A_i)$ .

Om $B_1 \supseteq B_2 \supseteq B_3 \supseteq ...$ är händelser så är

$\mathbb{P}\left(\bigcap_{i=1}^\infty B_i\right) = \lim_{i \rightarrow \infty} \mathbb{P} (B_i)$ .

Fatous lemma: om $(X_n)_{n\in \N}$ är stokastiska variabler får man att

$\mathbb{E} (\liminf_{n \rightarrow \infty} X_n ) \leq \liminf_{n \to \infty} \mathbb{E}(X_n).$

Monotona konvergenssatsen: om $(X_n)_{n\in \N}$ är stokastiska variabler med $\mathbb{P}(\{X_1 \leq X_2 \leq ...\}) = 1$ finns det $\lim_{n \to \infty} \mathbb{E}(X_n)$ och

$\mathbb{E} (\lim_{n \rightarrow \infty} X_n ) = \lim_{n \to \infty} \mathbb{E}(X_n).$

Dominerade konvergenssatsen: om $(X_n)_{n\in \N}$ och $X\,$ är stokastiska variabler med $\mathbb{P}(\{ |X_n| \leq X \}) = 1$ för alla $n \in \N$ och $\mathbb{E}(X) < \infty$ finns det $\lim_{n \to \infty} \mathbb{E}(X_n)$ och

$\mathbb{E} (\lim_{n \rightarrow \infty} X_n ) = \lim_{n \to \infty} \mathbb{E}(X_n).$

Se även

Måtteori

Sannolikhetsrum

Från Rilpedia

Innehåll

Definition

Tillämpningar

Klassiska sannolikhetsrum

Geometriska sannolikhetrum

Sannolikhetsfördelningrum

Förteckningar

Stokastisk variabel

Väntevärde

Varians och kovarians

Konvergenssatser

Se även

Visningar

Personliga verktyg

Sök

Navigering

Bibeln

Övrigt

Verktygslåda

På andra språk