Vektoranalys

Från Rilpedia

Hoppa till: navigering, sök
Wikipedia_letter_w.pngTexten från svenska WikipediaWikipedialogo_12pt.gif
rpsv.header.diskuteraikon2.gif

Vektoranalys är ett område i matematiken som handlar om reell analys i flera variabler av vektorer i 2 eller fler dimensioner. Den absoluta majoriteten av användningsområdena baserar sig på 3-dimensionell vektoranalys.

Vektoranalysen består av ett antal formler och problemlösningstekniker som är mycket användbara för ingenjörer och fysiker.

Vi betraktar vektorfält, vilka åt varje punkt i rummet tilldelar en vektor, och skalärfält, vilka åt varje punkt i rummet tilldelar en skalär. Till exempel så är temperaturen i en pool ett skalärfält: för varje punkt i poolen finns en temperatur (vilket anges som ett reellt tal). Hur vattnet strömmar i poolen är däremot ett vektorfält: i varje punkt kan vi mäta vattnets hastighet, med riktning, d.v.s. en hastighetsvektor.

Tre viktiga operatorer inom vektoranalysen:

  • gradient: mäter hastighet och riktning av ett förändringar i ett skalärfält; gradienten av ett skalärfält är ett vektorfält.
  • rotation:mäter ett vektorfälts tendens att rotera runt en punkt; rotationen av ett vektorfält är ett annat vektorfält.
  • divergens: mäter ett vektorfälts tendens till att utgå ifrån eller närma sig en given punkt; divergensen av ett vektorfält är ett skalärt fält.

Innehåll

Exempel

  1. Gradienten av temperaturfältet ovan ger en vektor i varje punkt, som hela tiden pekar mot varmare vatten (högre temperatur). Om skalärfältet betecknas med T, så skrivs gradienten av T som grad T eller ∇ T
  2. Rotationen av vattnets hastighetsvektor ovan anger, löst talat, om det finns virvlar i vattnet. Ett vektorfält v har rotationen rot v, eller ∇× v
  3. Divergensen av vattnets hastighetsvektor anger, löst talat, huruvida det i en punkt tillkommer mer vatten (divergensen positiv) eller strömmar ut vatten (divergensen negativ). Om v åter är hastighetsvektorn, så är divergensen ∇·v


Flertalet analytiska resultat förstås lättare om man använder sig av tekniker från differentialgeometrin, vilken innehåller hela vektoranalysen plus lite extra: exempelvis hur man generaliserar vektoranalysen till högre dimensioner. Att det inte går att göra likadant i högre dimensioner som man gör i 3, beror bl.a. på att det inte går att på ett naturligt sätt generalisera rotationsoperatorn.

Definitioner

Följande definitioner gäller i ett kartesiskt koordinatsystem \{\bar{e_0}, \ldots, \bar{e_n}\}, där basvektorerna är konstanta.

  1. Låt f vara ett skalärfält definierat i en delmängd av  \mathbb{R}^n. Gradienten av f definieras då som \nabla f(x_1, \ldots, x_n) =( \frac{\partial f}{\partial x_1}, \ldots, \frac{\partial f}{\partial x_n}) .
  2. Låt v=(v_1,\ldots,v_n) vara en vektor, och varje  v_i=v_i(x_1, \ldots , x_n) är en funktion definierad i en given delmängd av \mathbb{R}^n. Divergensen av v definieras då som: \nabla \cdot v = \sum_{k=1} ^n \frac{\partial v_k}{\partial x_k}.
  3. Låt v = (v_1,v_2,v_3)\in \mathbb{R}^3, och varje vi(x1,x2,x3) vara en funktion definierad i en given delmängd av \mathbb{R}^3. Rotationen av v definieras då som: \nabla \times v=(\frac{\partial v_3}{\partial x_2}-\frac{\partial v_2}{\partial x_3},\frac{\partial v_1}{\partial x_3}-\frac{\partial v_3}{\partial x_1},\frac{\partial v_2}{\partial x_1}-\frac{\partial v_1}{\partial x_2}).

Tillämpningar

Vektoranalys är nödvändig för att uttrycka vissa partiella differentialekvationer i fysiken, som Maxwells ekvationer i elektrodynamik, och Navier-Stokes ekvationer i strömningsmekanik.

Se även

Personliga verktyg