Komplexa tal

Från Rilpedia

(Omdirigerad från Komplext talplan)

Hoppa till: navigering, sök

Texten från svenska Wikipedia

Komplexa talplanet. Ett komplext tal och dess konjugerade värde

Ett komplext tal framställt i polär form där $\ r$ är talets absolutbelopp och $\ \varphi$ är talets argument

De komplexa talen är en talmängd som kan ses som en utvidgning av de reella talen. Ett komplext tal kan skrivas som

$z\ = a + b\ i$

där det reella talet $a\$ är realdelen,

det reella talet $b\$ är imaginärdelen

och $i\$ är den imaginära enheten som definieras av

$\ i^2\ = {-1}$

Denna framställning av ett komplext tal kallas också rektangulär form.

Konjugatet $\bar{z}$ till ett komplext tal $\ z = a + b\ i$ definieras som

$\bar{z} = a - b\ i$

Enligt Eulers formel gäller

$\ e^{\varphi i} = \cos \varphi + i\ \sin \varphi$

vilket innebär att ett allmänt komplext tal kan skrivas som

$\ z = r\cdot e^{i\varphi}=r\ (\cos \varphi\ +i\sin \varphi)$

där $\ r$ (absolutbeloppet) är avståndet till origo i det komplexa talplanet och $\varphi$ är vinkeln mellan den reella axeln och en linje genom origo och talets punkt i det komplexa talplanet.

Absolutbeloppet av ett komplext tal definieras som

$r= \sqrt{a^2 + b^2}$

Vinkeln $\varphi$ kallas argumentet för $\ z$ och kan skrivas som

$\arg(z) = \arctan\ {b \over a}$ om $\ a > 0$ .

Denna framställning kallas polär form.

Om b ≠ 0 så är z ett icke reellt komplext tal (till exempel 2 + 4i), och om a = 0 kallas talet rent imaginärt (t.ex 4i).

Mängden av komplexa tal betecknas med $\mathbb C$ och i äldre litteratur används ofta beteckningen $\mathbf C$ .

Innehåll

1 Räkneregler
2 Serieutveckling
3 Logaritmfunktionen
4 Definition
5 Användningsområden
- 5.1 Komplexa tal inom fysiken
6 Historiskt
7 Se även
8 Externa länkar
9 Källor

Räkneregler

Komplex addition

Multiplikation med i motsvarar en rotation av 90 grader moturs. Division med i motsvarar en rotation av 90 grader medurs

Rektangulär form

Addition, subtraktion och multiplikation är definierade för de komplexa talen:

$\,(a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d)i$

$\,(a + bi) - (c + di) = (a - c) + (b - d)i$

$\begin{align} \,(a + bi)(c + di) &= ac + bci + adi + bdi^2 =\\ &= (ac - bd) + (bc + ad)i \\ \end{align}$

Även division kan utföras:

${a+bi\over c+di} = {(a+bi)(c-di)\over (c+di)(c-di)} = {ac + bd \over c^2 + d^2}+\ i{bc - ad \over c^2+d^2}$

Polär form

Om vi antar att $\ z_1 = r_1 e^{i \varphi_1}$ och $\ z_2 = r_2 e^{i \varphi_2}$ så gäller enligt räknereglerna för exponentiella tal

$\ z_1 z_2 = r_1 r_2e^{i(\varphi_1+\varphi_2)}$

$\ {z_1 \over z_2} = {r_1 \over r_2}e^{i(\varphi_1-\varphi_2)}$

Av detta följer

$\arg\ {z_1 z_2} = \arg(z_1) + \arg(z_2)$
$\arg {z_1 \over z_2} = \arg(z_1) - \arg(z_2)$

Relationer

Följande relationer gäller för de komplexa talens absolutbelopp:

$|z_1 \cdot z_2| = |z_1|\cdot |z_2|$
$\left|{z_1 \over z_2} \right | = {|z_1|\over |z_2|}$
$|z_1+z_2|\leq |z_1|+|z_2|\$ (triangelolikheten)
$|z_1-z_2|\geq ||z_1|-|z_2||\$
$|z|=\sqrt{z \bar z}$

Övrigt

För beräkningar utförda för hand är det lämpligt att använda den rektangulära formen för addition och subtraktion och den polära formen för multiplikation och division.

Serieutveckling

Enligt de kända serieutvecklingarna för reella $\ x$ av

$\sin x = x - {x^3 \over 3!} + {x^5 \over 5!} - {x^7 \over 7!} + ...$

$\cos x = 1 - {x^2 \over 2!} + {x^4 \over 4!} - {x^6 \over 6!} + ...$

$e^x = 1 + {x \over 1!} + {x^2 \over 2!} + {x^3 \over 3!} + {x^4 \over 4!} + ...$

framgår att exponentialfunktionen $\ e^z$ för komplexa $\ z$ enligt

$\ e^{ix} = \cos x + i\sin x$

kan definieras genom serien

$e^z= \sum_{n = 0}^{\infty}\frac{z^n}{n!}$

Serien är konvergent för alla $\ z$ .

Logaritmfunktionen

Även den komplexa logaritmen kan definieras och är en flervärd funktion.

Den komplexa logaritmen definieras som

$\log\, z = \log|z|+i(\arg z + 2n\pi)$

och de flesta logaritmlagar som gäller för de reella talen gäller också för den komplexa logaritmen.

Med hjälp av logaritmfunktionen kan till exempel roten av komplexa tal bildas då

$z^{\frac{1}{2}} = e^\frac{\log z}{2}$ , vilket lätt kan beräknas.

Observera att med denna definition, erhålls två lösningar även när $\ z$ är ett reellt tal.

Definition

Mängden av komplexa tal $\mathbb C$ definieras som mängden av ordnade reella talpar $\ (a, b)$ , där $\ a, b$ tillhör den reella talmängden, tillsammans med operatorerna + och · för vilka gäller:

$\ (a, b) + (c, d) = (a + c, b + d)$

$(a,b)\cdot (c, d) = (ac - bd, bc + ad)$

Definierade på detta sätt utgör $\mathbb C$ en algebraisk struktur som benämns kropp (vilket bland annat innebär att både addition och multiplikation är tillåtna operationer då de inte leder utanför talmängden).

De reella talen är komplexa tal av typen $\ (a, 0)$ , och den imaginära enheten $\ i$ är det komplexa talet $\ (0, 1)$ . Alla tal $\ (0, b)$ , det vill säga alla tal $\ b i$ , sägs vara rent imaginära.

Det komplexa talplanet, som innehåller mängden $\mathbb C$ , kallas också för Arganddiagram.

Användningsområden

Komplexa tal är grundläggande för delar av matematiken. Enligt Algebrans fundamentalsats har en ekvation av typen p(x) = 0, där p är ett polynom av graden n, exakt n komplexa rötter. Detta medför att de komplexa talen utgör en algebraiskt sluten kropp. Om p endast har reella koefficienter, och x är en rot till p(x) = 0, så är även konjugatet till x en rot.

Komplexa tal inom fysiken

Komplexa tal är mycket användbara inom fysiken, till exempel för att beskriva vågrörelser eller svängningar inom elektromagnetismen. Detta på grund av att man med komplexa tal samtidigt hanterar både absolutbelopp och fasvinkel, vilket är till stor nytta för att beräkna belopp och fasförskjutningar för spänningar och strömmar.

Med J-omega-metoden behandlas växelströmsproblem i nära analogi med motsvarande likströmsproblem genom införande av komplexa impedanser.

Inom elektrotekniken används ofta komplexa tal i olika slag av transformer, som till exempel Fouriertransformen och Laplacetransformen, för att underlätta vid beräkningar av växelströmsförlopp.

Inom kvantmekaniken är de grundläggande vågfunktionerna komplexa.

I strömningsmekanik används komplexa funktioner för konforma avbildningar.

Historiskt

Under 1500-talet förekom kvadratrötter ur negativa tal i de lösningar till tredje- och fjärdegradsekvationer som upptäcktes av de italienska matematikerna Niccolo Fontana Tartaglia och Gerolamo Cardano. Även om man bara var intresserade av reella lösningar, ledde dessa formler ibland till sådana kvadratrötter som mellanresultat.

Namnet imaginära för sådana tal myntades av René Descartes på 1600-talet och man betraktade dem länge med stor misstänksamhet. Komplexa tal accepterades först efter att deras geometriska tolkning hade beskrivits och publicerats av Caspar Wessel 1799. Denna beskrivning återupptäcktes flera år senare av bland andra Carl Friedrich Gauss. Den moderna definitionen som ett par av reella tal infördes under 1800-talet av William Rowan Hamilton.

Flera av Leonhard Eulers mest betydande upptäckter vilar väsentligt på införande av komplexa tal. Abels skapelse, de elliptiska funktionerna, förde än mer de komplexa talen i förgrunden inom matematisk forskning. Så blev ytterligare fallet, när den moderna funktionsteorin framväxte ur Abels, Cauchy, Weierstrass' och Riemanns arbeten.

Carl Friedrich Gauss och Karl Weierstrass arbeten har visat, att införande av högre komplexa tal, bildade av flera än två grundenheter, inte medför fördelar jämförliga med dem som vinns genom införande av de av två grundenheter bildade komplexa talen.

Se även

Externa länkar

http://mathworld.wolfram.com/ComplexNumber.html

Källor

Complex Analysis for Mathematics and Engineering av John H. Mathews & Russel W. Howell

Olika typer av matematiska tal

Naturliga tal - Heltal - Positiva tal - Noll - Negativa tal - Rationella tal - Irrationella tal - Reella tal - Algebraiska tal - Transcendent tal - Imaginära tal - Komplexa tal - Hyperkomplexa tal (Kvaternioner Oktonioner Sedenioner) - Perfekta tal

Denna artikel är helt eller delvis baserad på material från Nordisk familjebok, 1904–1926 ^(Not).

Komplexa tal

Från Rilpedia

Innehåll

Räkneregler

Rektangulär form

Polär form

Relationer

Övrigt

Serieutveckling

Logaritmfunktionen

Definition

Användningsområden

Komplexa tal inom fysiken

Historiskt

Se även

Externa länkar

Källor

Visningar

Personliga verktyg

Sök

Navigering

Bibeln

Övrigt

Verktygslåda

På andra språk