Geometri
Från Rilpedia
Geometri (grekiska γεωμετρια geometria, av γεω geo ’jord’, och μετρια metria ’mäta’) är en gren av matematiken där man studerar vilka egenskaper figurer har i ett rum eller, mer generellt, rumsliga samband. Geometrin var en av de två ursprungliga matematiska disciplinerna vi sidan av talteori, det vill säga studiet av talen. I modern tid har geometrin generaliserats till en hög abstraktionsnivå och komplexitet. Många av dess grenar berörs idag av matematisk analys och abstrakt algebra och kan vara mycket svåra att känna igen som ättlingar till den tidigaste geometrin. Beroende på vilka axiom man utgår ifrån får man olika geometrier, det vill säga geometriska teorier.
Innehåll |
Grundläggande begrepp
En punkt betecknar inom geometri ett objekt utan någon utsträckning. För att ange en punkts läge används koordinater. Antalet koordinater som behövs för att ange punktens läge bestäms av dimensionen.
En linje är en utsträckning i rummet med en dimension, det vill säga att läget för en punkt på linjen bestäms av en koordinat, vilket är det samma som ett matematiskt tal. Med linje menar man oftast en rät linje, men kan generellt sett vara vilken kurva som helst.
Ett plan är en utsträckning i rummet med två dimensioner sådan att en rät linje som förbinder två punkter på ytan ligger till hela sin längd i ytan. En punkts läge i ett plan bestäms alltså av två koordinater. Koordinaterna anger punktens läge i förhållande till ett koordinatsystem. En yta är också tvådimensionell och utgör en yttre begränsning av en kropp, eller en avgränsning mellan två kroppar.
En kropp är ett objekt i tre dimensioner. Volymen är ett mått på kroppens innehåll.
Ett annat grundläggande begrepp inom geometri är symmetri. I geometrien avser man med symmetri oftast spegelsymmetri, vilket innebär att ett föremål är identiskt med spegelbilden av ett annat föremål i något plan.
Grenar
Se euklidisk geometri, icke-euklidisk geometri, differentialgeometri, vektoranalys, fraktalgeometri och topologi.
 |
Detta korta avsnitt behöver utökas. |
Historik
 |
Denna artikel kan behöva städas upp för att leva upp till Wikipedias artikelstandard. Förbättra gärna artikeln om du kan, och diskutera frågan på diskussionssidan. Motivering: Förkorta till en överskådlig sammanfattning. |
Den allra äldsta, bevarade geometrin, som kommer från det gamla Egypten och Babylonien med början omkring 3 000 f.Kr., var en samling empiriskt härledda principer om längd, vinklar, ytor och volymer, som man utvecklat för att tillfredsställa de praktiska behov som uppstått ur lantmäteri, konstruktion, astronomi och olika hantverk. Flera av dessa principer var förvånansvärt sofistikerade och dagens matematiker kan ha svårt att härleda dem utan att blanda in matematisk analys. Till exempel kände både egyptierna och babylonierna till Pythagoras sats omkring 1 500 år före Pythagoras. Egyptierna kunde korrekt beräkna volymen på en stympad pyramid med kvadratisk bas och babylonierna hade trigonometriska tabeller.
I Kina hade man med största sannolikhet kommit lika långt inom matematiken.
Den grekiska perioden (600 f.Kr.–600 e.Kr.)
Grekerna utvecklade geometrin till att omfatta många nya figurer, kurvor, ytor och kroppar. De ersatte tidigare induktiva metoder med logiska, deduktiva, de insåg att geometrin studerar abstrakta, ideala former och de upptäckte det axiomatiska system som, under mer än 2 000 år, betraktats som det ideala paradigmet för alla vetenskapliga teorier.
Thales skrev deduktiva bevis för fem geometriska satser, men dessa bevis är försvunna. Pythagoras upptäckte inte den sats som idag bär hans namn, men han var den förste som kunde presentera ett deduktivt bevis för den. Pythagoreerna och hans lärjungar studerade matematik, musik och filosofi och tillsammans utforskade de det mesta av den geometri som idag studeras på gymnasiet. Dessutom upptäckte man, till sin egen förtvivlan, inkommensurabla sträckor och därmed de irrationella talen.
Matematiker accepterade Platons övertygelse att geometrin uteslutande skulle använda sig av passare och en ograderad linjal och aldrig någon form av mätverktyg, gradskiva eller något annat verktyg som man förknippade med praktiskt hantverk. Detta maxim gjorde att man fördjupade sig i konstruktioner med passare och linjal och dess tre klassiska konstruktionsproblem: kubens fördubbling, vinkelns tredelning och cirkelns kvadratur. De bevisades omöjliga i dessa konstruktioner först på 1800-talet. Aristoteles skrev en traktat om metodisk argumentation i deduktiva bevis, en metodlära som förblev oförändrad ända fram till 1800-talet.
Euklides skrev Geometrins elementa, en axiomatisk beskrivning av geometrin.
Arkimedes utvecklade metoder som starkt påminner om den analytiska geometrins koordinatsystem och integralkalkylens approximationer. Detta enda som saknades för att han skulle kunna skapa dessa matematiska discipliner var verkningsfulla algebraiska beteckningar som kunde uttrycka hans idéer.
Medeltiden, renässansen och reformationen
Den islamiska dominansen i Mellanöstern, Nordafrika och Spanien inleddes omkring 640 e.Kr. Biblioteket i Alexandria brändes ned. De första framstående arabiska matematikerna ägnade sig mer åt algebra än geometri även om exempelvis poeten och geometrikerna Omar Khayyam bidrog med viktiga kommentarer till ämnet. I Europa förföll matematiken till den grad att till och med de klassiska verken gick förlorade där och bara överlevde via de islamiska lärdomscentrerna.
Under medeltidens slut studerades de klassiska grekiska och romerska verken i islamiska bibliotek och översattes från arabiska till latin. Man återupptäckte Euklides Elementa och geometrins deduktiva metoder återerövrades. Utvecklingen av geometrin i enlighet med Euklides metoder återupptogs och ett stort antal viktiga och till och med eleganta teorem och begrepp tillkom.
1600-talet och början av 1700-talet
Descartes och Fermat introducerade analytisk geometri med koordinater och ekvationer. Desarges studerade projektiv geometri utan användning av måttenheter, egenskaper som inte påverkas av projektion (till exempel hur punkter relaterar sig till varandra).
I slutet av 1600-talet utvecklade, oberoende av varandra, Newton (1642–1727) och Leibniz (1646 - 1716) differentialkalkylen. Det blev början på ett helt ny gren inom matematiken som idag kallas analys som gjorde det enkelt att hitta tangenten till godtyckliga kurvor och att finna arean hos en yta som omsluts av sådana kurvor.
Parallellpostulatets fall
Saccheri, Lambert och Legendre gjorde var och en för sig viktiga upptäckter kring detta beviset för Euklides parallellpostulat under 1700-talet, men ingen av dem lyckades hitta lösningen. I början av 1800-talet valde Gauss, Bolyai och Lobatjevskij en annan väg. Oberoende av varandra drog de slutsatsen att det var omöjligt att bevisa parallellpostulatet och började istället utveckla en icke-euklidisk geometri där postulatet var falskt. 1854 presenterade Riemann, som studerat för Gauss, ett banbrytande arbete där han visade hur differentialkalkylen kunde appliceras på rum med godtyckligt antal dimensioner, det vill säga en fristående geometri som var giltig för alla släta ytor.
Eugenio Beltrami bevisade 1868 att den icke-euklidiska geometrin var fristående. En lång och noggrann undersökning hade till sist uppdagat logiska brister i Euklides resonemang och outtalade antaganden som hans argumentation vilade på. Samtidigt drabbades differentialkalkylen och den numeriska analysen av en kris sedan man misslyckats med att hantera betydelsen av oändliga processer som konvergens och kontinuitet. I geometrin fanns ett påtagligt behov av en ny uppsättning postulat som var helt oklanderliga och stod helt oberoende av bilder på ett papper och vår intuitiva bild av ett rum. David Hilbert presenterade en ny uppsättning geometriska axiom 1894. Även om liknande axiom presenterats några år tidigare, kunde de inte mäta sig med Hilberts som var lika sparsamma och eleganta som Euklides.
Se även
- Euklidisk geometri
- Icke-euklidisk geometri
- Topologi
- Differentialgeometri
- Analytisk geometri
- Oktaedrisk geometri
