Fouriertransform

Från Rilpedia

Texten från svenska Wikipedia

Fouriertransformen, efter Jean Baptiste Joseph Fourier, är en transform som överför en funktion från tidsplanet till frekvensplanet. Där uttrycks funktionen som summan av sina sinusoidala basfunktioner, eller deltoner. Dessa är sinsemellan ortogonala, vilket gör transformering till och från frekvensplanet relativt enkla.

Fouriertransfomen har stor betydelse inom alla områden där frekvensanalys är av intresse. Den kan även användas för att underlätta lösning av differentialekvationer.

Fouriertransformen är definierad för såväl tidskontinuerliga som tidsdiskreta signaler. När den används på tidsbegränsade eller periodiska signaler benämns resultatet normalt Fourierserier.

Definitioner

Tidskontinuerlig Fouriertransform

Fouriertransformen för en reell- eller komplexvärd funktion $f(t), t\in\mathbb{R}$ , definieras som:

$F(\omega) = \mathcal{F}(f(t)) = \int_{-\infty}^\infty f(t) e^{-i\omega t}\,dt$

Motsvarande inverstransform:

$f(t) = \mathcal{F}^{-1}(F(\omega)) = \frac{1}{2\pi} \int_{-\infty}^\infty F(\omega) e^{i\omega t}\,d\omega$

Basfunktionerna är:

$\Phi(t,\omega) = e^{i\omega t},\ \omega,t\in\mathbb{R}$

De är ortogonala:

$\left\langle \Phi(t,\omega_1),\Phi(t,\omega_2) \right\rangle = \lim_{T\rightarrow\infty} \frac{1}{2T}\int_{-T}^{T} \Phi(t,\omega_1) \Phi^*(t,\omega_2) \, dt$

$= \lim_{T\rightarrow\infty} \frac{n}{2T}\int_{-T}^{T} e^{i\omega_1t} e^{-i\omega_2t} \, dt = \begin{cases} 1, & \mbox{om } \omega_1 = \omega_2 \\ 0, & \mbox{annars} \end{cases}$

Den tidskontinuerliga Fouriertransformen är en variant av Laplacetransformen, med parametern $s = i ω$ . Egenskaper för Fouriertransformen är:

Linearitet

$\mathcal{F}\left(af(t) + bg(t)\right) = a\mathcal{F}(f(t)) + b\mathcal{F}(g(t)) = aF(\omega) + bG(\omega)$

Derivering

$\mathcal{F}\left(\frac{d^{(n)}f(t)}{dt^{(n)}}\right) = (i\omega)^{(n)}F(\omega)$

$\mathcal{F}((-it)^n f(t)) = \frac{d^{(n)}F(\omega)}{d\omega^{(n)}}$

Faltning och multiplikation

$\mathcal{F}(f*g(t)) = F(\omega)G(\omega)$

$\mathcal{F}(f(t)g(t)) = \frac{1}{2\pi} F*G(\omega)$

Tids- och frekvensförskjutning

$\mathcal{F}(f(t-T)) = e^{-i\omega T}F(\omega)$

$\mathcal{F}(e^{i\Omega t}f(t)) = F(\omega-\Omega)$

Tidskontinuerlig Fourierserie

Fourier-serien för en reell- eller komplexvärd tidsbegränsad funktion $f(t), t\in\{\mathbb{R}, t_0\le t\le t_0+T\}$ , eller för en reell- eller komplexvärd periodisk funktion $f (t)$ med periodiciteten $T$ , definieras som:

$f(t) = \sum_{k=-\infty}^\infty c_k e^{i2\pi kt/T}$

där

$c_k = \frac{1}{T}\int_{t_0}^{t_0+T} f(t) e^{-i2\pi kt/T}\,dt \quad (k\in\mathbb{Z})$

Basfunktionerna är:

Φ k (t) = e i 2π k t / T

De är ortogonala:

$\left\langle \Phi_k(t),\Phi_l(t) \right\rangle = \frac{1}{T} \int_{t_0}^{t_0+T} \Phi_k(t) \Phi_l^*(t) \, dt$

$= \frac{1}{T} \int_{t_0}^{t_0+T} e^{i2\pi kt/T} e^{-i2\pi lt/T} \, dt = \begin{cases} 1, & \mbox{om } k = l \\ 0, & \mbox{annars} \end{cases}$

Tidsdiskret Fouriertransform

Fouriertransformen för en reell- eller komplexvärd funktion $f(n), n\in\mathbb{Z}$ , definieras som:

$F(\omega) = \mathcal{F}(f(n)) = \sum_{n=-\infty}^\infty f(n) e^{-i\omega n}$

Motsvarande inverstransform:

$f(n) = \mathcal{F}^{-1}(F(\omega)) = \frac{1}{2\pi} \int_{-\pi}^\pi F(\omega) e^{i\omega n}\,d\omega$

Basfunktionerna är:

$\Phi(n,\omega) = e^{i\omega n},\quad \omega\in\{\mathbb{R}:\,[-\pi,\pi]\}$

De är ortogonala:

$\left\langle \Phi(n,\omega_1),\Phi(n,\omega_2) \right\rangle = \lim_{N\rightarrow\infty} \frac{1}{2N+1}\sum_{n=-N}^{N} \Phi(n,\omega_1) \Phi^*(n,\omega_2)$

$= \lim_{N\rightarrow\infty} \frac{1}{2N+1}\sum_{n=-N}^{N} e^{i\omega_1n} e^{-i\omega_2n} = \begin{cases} 1, & \mbox{om } \omega_1 = \omega_2 \\ 0, & \mbox{annars} \end{cases}$

Den tidsdiskreta Fouriertransformen är en variant av Z-transformen, med parametern $z = e i ω$ . Egenskaper för Fouriertransformen är:

Linearitet

$\mathcal{F}\left(af(n) + bg(n)\right) = a\mathcal{F}(f(n)) + b\mathcal{F}(g(n)) = aF(\omega) + bG(\omega)$

Derivering

$\mathcal{F}((-in)^m f(t)) = \frac{d^m F(\omega)}{d\omega^m}$

Faltning och multiplikation

$\mathcal{F}(f*g(n)) = F(\omega)G(\omega)$

$\mathcal{F}(f(n)g(n)) = \frac{1}{2\pi} F*G(\omega)$ (cyklisk faltning över

2π

)

Tids- och frekvensförskjutning

$\mathcal{F}(f(n-m)) = e^{-i\omega m}F(\omega)$

$\mathcal{F}(e^{i\Omega n}f(n)) = F(\omega-\Omega)$

$Φ(n,ω)$ (och därmed $F (ω)$ ) är en periodisk funktion med periodiciteten $2π$ .

Tidsdiskret Fourierserie

Fouriertransformen för en reell- eller komplexvärd funktion $f(n), n\in\{\mathbb{Z}, 0\le n\le N-1\}$ , definieras som:

$f(n) = \sum_{k=0}^{N-1} c_k e^{i2\pi kn/N}$

där

$c_k = \frac{1}{N}\sum_{n=0}^{N-1} f(n) e^{-i2\pi kn/N}\,dt \quad (k\in\mathbb{Z})$

Basfunktionerna är:

Φ k (n) = e i 2π k n / N

De är ortogonala:

$\left\langle \Phi_k(n),\Phi_l(n) \right\rangle = \frac{1}{N} \sum_{n=0}^{N-1} \Phi_k(n) \Phi_l^*(n)$

$= \frac{1}{N} \sum_{n=0}^{N-1} e^{i2\pi kn/N} e^{-i2\pi ln/N} = \begin{cases} 1, & \mbox{om } k = l \\ 0, & \mbox{annars} \end{cases}$

Den tidsdiskreta Fourierserien kräver i allmänhet $N 2$ komplexa multiplikationer. Algoritmer för att beräkna den betydligt snabbare går under namnet FFT (Fast Fourier Transform), vilka kräver i storleksordningen $N log N$ komplexa multiplikationer.

Se även

Fouriertransform

Från Rilpedia

Innehåll

Definitioner

Tidskontinuerlig Fouriertransform

Tidskontinuerlig Fourierserie

Tidsdiskret Fouriertransform

Tidsdiskret Fourierserie

Se även

Visningar

Personliga verktyg

Sök

Navigering

Bibeln

Övrigt

Verktygslåda

På andra språk