Fourierserie

Från Rilpedia

Hoppa till: navigering, sök

Texten från svenska Wikipedia

En fyrkantsvåg approximerat med ett tilltagande antal fourierkomponenter; observera beteendet vid diskontinuiteterna.

Fourierserier, efter Jean Baptiste Joseph Fourier, är en variant av Fouriertransformen för funktioner som bara är definierade för ett intervall av längden $T$ , eller som är periodiska med periodiciteten $T$ . Varje kontinuerlig periodisk funktion kan skrivas som summan av ett antal sinusfunktioner med varierande amplitud där varje sinusfunktion har en frekvens som är en heltalsmultipel av den lägsta frekvensen i den periodiska funktionen, 1/T (grundtonen).

Fourierutvecklingen av en funktion $f$ med perioden 2π kan definieras som

$f(x)=\frac{a_0}{2}+\sum _{n=1} ^\infty (a_n\cos(nx)+b_n\sin(nx))$ , där

$\left\{ \begin{array}{c} a_n = \frac{1}{\pi} \int _{-\pi} ^{\pi} f(x)\cos(nx)dx \\ b_n = \frac{1}{\pi} \int _{-\pi} ^{\pi} f(x)\sin(nx)dx \end{array} \right.$

Inte alla periodiska funktioner kan skrivas som en Fourier-serie där serien konvergerar punktvis. Ett tillräckligt villkor är t ex att $f$ är deriverbar.

Mer allmänt kan Fourierutvecklingen av en vektor $\bar{x}$ relativt en ortonormerad bas $\{ e_i \}_{i=0} ^{n-1}$ i ett Hilbertrum definieras som