Reella tal

Från Rilpedia

(Omdirigerad från ℝ)
Hoppa till: navigering, sök
Wikipedia_letter_w.pngTexten från svenska WikipediaWikipedialogo_12pt.gif
rpsv.header.diskuteraikon2.gif
icon_anmal.gif
rp-wp-sv.gif

De reella talen är de tal som man vanligtvis menar med tal. De kan beskrivas som alla punkter på en kontinuerlig linje, utan att det finns glapp mellan talen i linjen. Denna linje brukar kallas den reella tallinjen. Mängden av alla reella tal betecknas vanligen \mathbb{R} eller \mathbf{R}.

De reella talen skrivs ofta som avkortade decimalutvecklingar, det vill säga som approximationer, till exempel 3,3333..., 1,4142... där "..." indikerar att flera siffror följer för en mera precis bestämning av talet.

De naturliga talen (icke-negativa heltal, mängden \mathbb{N}) är en delmängd av de reella talen där decimaldelen är noll.

De rationella talen (bråktalen, mängden \mathbb{Q}) är en delmängd av de reella talen, där decimalföljden har ett periodiskt mönster. Till exempel är 1/3 = 0,333..., 1/11 = 0,09090909..., 2/7 = 0,285714285714... . De kan skrivas som ett bråk med heltal i täljare och nämnare. Reella tal som inte är rationella kallas irrationella tal.

Exempel på reella tal är 0, 1 (naturliga), 1/2 (rationellt), √2 (irrationellt), e, π (irrationella och transcendenta).

Innehåll

Historiskt

Under antiken insåg pytagoréerna att längden på hypotenusan för en kvadrat med enhetssida, \sqrt{2}, inte kunde uttryckas som ett rationellt tal (se roten ur två). Detta kom som en överraskning för dåtidens matematiker, som var övertygade om att de rationella talen var fullkomliga. Man insåg att det behövdes fler tal, bland annat för att beskriva kvadratrötter, men även för tal som π. Man lyckades dock inte finna en allmän och precis definition av dessa nya tal.

På 1800-talet revolutionerades denna del av matematiken, då Richard Dedekind gav en enkel men kraftfull konstruktion av de reella talen (se Dedekindsnitt). Han lät ett reellt (positivt) tal representeras av en öppen delmängd ur \mathbb{Q}_+. Det reella talet är sedan supremum av denna mängd. Om vi låter den aktuella mängden vara M och vi vill skapa decimalutvecklingen r för talet, kan vi gå till väga på detta sätt (för enkelhets skull begränsar vi oss till talen mellan 0 och 1):

  1. Vilken är den största tiondel (0,1 0,2 etc.) sådan att det finns tal i M som är större än denna tiondel?
  2. Lägg tiondelen till r
  3. Vilken är den största hundradel sådan att det finns tal i M som är större än hundradelen + r?
  4. Lägg hundradelen till r

Fortsätt oändligt många gånger, med tusendelar, tiotusendelar, etc.

På detta sätt ser vi att ett rationellt tal q representeras i \mathbb{R} av mängden \{x\in\mathbb{Q}: x<q\}. Man visar sedan att de vanliga fyra räknesätten går att definiera för reella tal, och att de ger de resultat vi förväntar oss. Utifrån konstruktionen följer att mängden av de reella talen är fullständig, det vill säga att alla Cauchy-följder har ett gränsvärde (det inte finns inte några icke-reella tal på tallinjen).

Begränsningar

Det visade sig dock att det fanns begränsningar även för de reella talen. Ekvationen x2 + 1 = 0 saknar reella lösningar. Detta ledde till utvecklingen av de komplexa talen.

Andra representationer

De reella talen (mellan 0 och 1) kan också ses som element ur B^\mathbb{N}, där basen B är en ändlig delmängd ur \mathbb N. På samma sätt, om man låter basen vara {0,1}, är \mathbb R naturligt homeomorf med potensmängden av de naturliga talen.

Kardinalitet

Mängden reella tal är överuppräknelig, det vill säga antalet reella tal är i kardinalitetsmening större än antalet naturliga tal \N. Kardinaltalet för de reella talen är 2^{\aleph_0}, där \aleph_0 är antalet naturliga tal. Enligt kontinuumhypotesen är detta detsamma som \aleph_1 (Alef-1).

De rationella talen är bara {\aleph_0} till antalet. De utgör därför bokstavligen en försvinnande liten del av alla reella tal. De irrationella dominerar totalt i antal. Man brukar illustrera detta med följande något provokativa, nästan paradoxala men ändå helt korrekta tankeexperiment: Antag att du kastar pil på den reella tallinjen. Då är sannolikheten exakt 0 att du träffar ett rationellt tal.

Egenskaper

De reella talen uppfyller följande egenskaper:

Associativa lagarna

Antag att a, b, c är reella tal. Då gäller:
1a. a + (b + c) = (a + b) + c
1b. a·(b · c) = (a · b)·c

Enhetens existens

Det finns tal 0 och 1 sådana att för varje reellt tal a gäller att:
2a. a + 0 = 0 + a = a
2b. a · 1 = 1 · a = a

Inversen

3a. För varje tal a finns ett tal -a sådant att a + -a = 0
3b. För varje tal a skilt från 0, finns ett tal a -1 sådant att a · a  -1 = 1

Kommutativa lagarna

Antag att a, b är reella tal. Då gäller:
4a. a + b = b + a
4b. a · b = b · a

Distributiva lagen

Antag att a, b, c är reella tal. Då gäller:
a · (b + c) = a · b + a · c

Ordning

Det finns en delmängd av de reella talen P, kallad de positiva talen. Om a, b tillhör P så:
6a. a, b\ne 0
6b. -a, -b tillhör inte P
6c. a + b tillhör P
6d. a · b tillhör P

Fullständighet

Om M är en delmängd av \R, och M är begränsad uppåt så existerar en minsta övre begränsning m (definierad som supremum av M, m = sup M)
.

Se även


Hämtad från "https://sv.rilpedia.org/wiki/Reella_tal"
Personliga verktyg