Normal matris

Texten från svenska Wikipedia

Inom matematiken är en normal matris en matris som kommuterar med sitt hermiteska konjugat

Definition

En kvadratisk matris A kallas normal om:

$A H A = A A H$

Där $A H$ (även skrivet $A *$ ) är det hermiteska konjugatet till A.

Exempel på matriser som är normala är alla unitära och hermiteska (för komplexa matriser) och alla symmetriska och ortogonala matriser (för reella matriser).

Att reella symmetriska matriser är normala följer av att (då matrisen är reell blir det hermiteska konjugatet bara transponat):

A T A = A A = A A T

För unitära matriser ( $A H = A - 1$ ) följer det av att:

A H A = A - 1 A = I = A A - 1 = A A H

Dock behöver inte normala matriser vara hermiteska eller unitära. Exempel:

$A = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 1 \end{pmatrix}$

$A$ är normal, men varken hermitesk eller unitär.

$A^HA = AA^H = \begin{pmatrix} 2 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & 1 \\ 1 & 1 & 2 \end{pmatrix}$