Borelmängd
Från Rilpedia
En Borelmängd är inom matematiken en mängd som är genererad av öppna mängder. Detta innebär att en Borelmängd är en uppräknelig union av öppna mängder och komplement till öppna mängder. Alla Borelmängder är element i den sigma-algebra som genereras av de öppna mängderna, vilken kallas Borelalgebra. Borelmängder är namngivna efter Émile Borel.
Innehåll |
Formell definition
Låt 
vara ett topologiskt rum. Borelalgebran i X, Bor X, är en sigma-algebra genererad av topologin 
, dvs
Medlemmarna i Bor X kallas Borelmängder.
Detta innebär att Borelalgebran är den minsta av de sigma-algebror som har topologin, dvs de öppna mängderna, som en del av sig.
Måtteori
- Huvudartikel: Borelmått.
Man behöver ofta Borelmängder inom måtteorin, eftersom de ofta är mätbara, t. ex. med Lebesguemåttet eller Hausdorffmåttet. Inom måtteorin måste man veta att en mängd är mätbar eller icke mätbar, men det kan vara ganska svårt att karakterisera. Å andra sidan man kan lätt behandla Borelmängder med öppna mängder så det kan vara lättare att mäta med Borelmängder. Ett Borelmått är ett mått så att alla Borelmängder är mätbara.
Vilken mängder är Borelmängder?
Många mängder i matematiken är Borelmängder eftersom man får så många olika mängder med den uppräkneliga konstruktionen. Men orden "många" är förstås beroende av topologi i rummet. Till exempel om topologin är den triviala topologin så är Borelalgebran också den triviala sigma-algebran, dvs där finns bara två Borelmängder i ett trivialt topologiskt rum. Tvärtom om topologin är den diskreta topologin så är en Borelalgebra också den diskreta sigma-algebran, dvs alla mängder är Borelmängder.
Så en interessant fråga är: när
Ett viktigt exempel för det här är 
med normtopologi. Eftersom Lebesguemåttet sammanfaller med Borelmåttet för Borelmängder är alla Borelmängder Lebesguemätbara, dvs
.
Dessutom finns det en icke mätbar mängd i så är
Så att
Dessutom finns det ganska många Borelmängder i eftersom till exempel slutna, kompakta, Gδ- och Fσ-mängder är Borelmängder.
Se även
Referenser
- G. B. Folland, Real Analysis: Modern Techniques and Their Applications, John Wiley and Sons 1999 ISBN 0-471-317160-0
