Skalärprodukt

Från Rilpedia

(Omdirigerad från Punktprodukt)
Hoppa till: navigering, sök
Wikipedia_letter_w.pngTexten från svenska WikipediaWikipedialogo_12pt.gif
rpsv.header.diskuteraikon2.gif
icon_anmal.gif
rp-wp-sv.gif

Skalärprodukt inom vektoralgebran är en inre produkt, definierad på \mathbb{R}^n \times \mathbb{R}^n, en bilinjär funktion av två vektorer \mathbf a och \mathbf b (eller \vec a och \vec b) som definieras som produkten av beloppen (längderna) av vektorerna och vinkeln mellan dem, enligt

\mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = |\mathbf{a}||\mathbf{b}| \cos \alpha

där α är den minsta vinkeln mellan vektorerna. Om b har längden 1, kan detta tolkas som att skalärprodukten ger längden av a:s projektion på b.

Definitionen ger att om skalärprodukten mellan två nollskilda vektorer a och b är noll så måste \cos \alpha=0 \,, dvs vektorerna a och b är vinkelräta mot varandra.

Om vi känner vektorernas komponenter i en ortonormerad bas, dvs \mathbf{a} = \sum_{i=1}^n a_i\hat{\mathbf{e}}_i samt \mathbf{b} = \sum_{i=1}^n b_i\hat{\mathbf{e}}_i och \hat{\mathbf{e}}_i\cdot \hat{\mathbf{e}}_j=\delta_{ij} där δij är Kroneckerdeltat, så kan skalärprodukten även skrivas

\mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = \sum_{i=1}^n a_i b_i = a_1 b_1 + a_2 b_2 + \dots + a_n b_n

Mer generellt gäller att

\mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = \mathbf{a}^{T}A\mathbf{b}

där A är en inverterbar, postivt definit n×n-matris och \mathbf{a}^{T} är transponatet av a, (a och b betraktas här som 1×n-matriser).

I rum av högre dimension än tre, där man inte lika självklart kan tala om längder och vinklar, används det senare ofta som definition av skalärprodukten. Utifrån denna kan man sedan analogt med det plana och det tredimensionella fallet definiera begrepp som längd och vinklar.

Märk särskilt att skalärprodukten är en skalär, ofta ett reellt tal, och inte en vektor - därav dess namn. Ibland används ordet "skalärmultiplikation" i betydelsen multiplikation av en vektor med en skalär, vilket innebär en förväxlingsrisk.

Hämtad från "https://sv.rilpedia.org/wiki/Skal%C3%A4rprodukt"
Personliga verktyg