Markovs olikhet

Från Rilpedia

Hoppa till: navigering, sök

Texten från svenska Wikipedia

Markovs olikhet är, inom sannolikhetsteorin, en uppskattning av en sannolikhet med

hjälp av ett väntevärde:

Låt $(\Omega,\mathcal{F},\mathbb{P})$ vara ett sannolikhetsrum och $X : \Omega \longrightarrow \mathbb{R}$ en stokastisk variabel på detta rum. Om $h : \mathbb{R} \longrightarrow [0,\infty)$ är en mätbar funktion så gäller, för varje tal $\varepsilon > 0$ , följande uppskattning av sannolikheten $\mathbb{P}\{h(X) \geq \varepsilon\}$ :

$\mathbb{P}\{h(X) \geq \varepsilon\} \leq \frac{1}{\varepsilon}\mathbb{E}\{h(X)\}.$

Bevis av Markovs olikhet

Välj ett godtyckligt tal $\varepsilon > 0$ och definiera mängden

$A = \{\omega \in \Omega : h(X(\omega)) \geq \varepsilon\} = \{\omega \in \Omega : (h\circ X)(\omega) \in [\varepsilon,\infty)\}.$

Sannolikhetsmåttet $\mathbb{P}$ är en mängdfunktion

$\mathbb{P} : \mathcal{F} \longrightarrow [0,1]$

på sigma-algebran $\mathcal{F}$ . För att vi skall kunna tala om sannolikheten för händelsen A, måste mängden A vara ett element i sigma-algebran $\mathcal{F}$ . Den sista formuleringen av mängden A visar att vi kan skriva

$A = (h\circ X)^{-1}([\varepsilon,\infty)) = X^{-1}\left(h^{-1}([\varepsilon,\infty))\right).$

Mängden $M = h^{-1}([\varepsilon,\infty))$ är ett element i Borel sigma-algebran $\mathcal{B}_\mathbb{R}$ , eftersom funktionen

$h : \mathbb{R} \longrightarrow [0,\infty)$

är mätbar.

Den för oss intressanta mängden A kan uttryckas med hjälp av mängden M enligt:

$A = X - 1 (M).$

Vi vet att

$X : \Omega \longrightarrow \mathbb{R}$

är en stokastisk variabel, det vill säga: den är en mätbar funktion. Detta innebär att mängden $X - 1 (M)$ är ett element i sigma-algebran $\mathcal{F}$ och därmed är sannolikeheten

$\mathbb{P}\{A\} = \mathbb{P}\{X^{-1}(M)\}$

definierad. Eftersom en sigma-algebra är sluten under komplement-bildning är mängden

$A^c = \Omega \setminus A$

också ett element i $\mathcal{F}.$

För att visa Markovs olikhet skriver vi den stokastiska variabeln $h (X)$ som en summa av två stokastiska variabler, beroende på om $h (X)$ är större än talet $\varepsilon$ eller ej:

$h(X) = h(X)1_{A} + \underbrace{h(X)1_{A^c}}_{\geq 0},$

där den andra termen är icke-negativ eftersom funktionen h endast antar icke-negativa värden.

Detta innebär att vi har olikheten

$h(X) \geq h(X)1_{A}.$

På mängden A är den stokastiska variabeln $h (X)$ större än, eller lika med, talet $\varepsilon$ , vilket ger uppskattningen

$h(X)1_{A} \geq \varepsilon 1_{A}.$

Genom att beräkna väntevärdena av de båda sidorna i olikheten

$h(X) \geq \varepsilon 1_A$

och utnyttja sambandet

$\mathbb{E}\{1_A\}=\mathbb{P}(A),$

fullbordas beviset av Markovs olikhet:

$\mathbb{E}\{h(X)\} \geq \mathbb{E}\{\varepsilon 1_A\} = \varepsilon \mathbb{E}\{1_A\} = \varepsilon \mathbb{P}\{A\}.$

Tillämpningar av Markovs olikhet

Ofta är man intresserad av att uppskatta sannolikheter av typen $\mathbb{P}\{\vert X \vert \geq \varepsilon\}.$

Markovs olikhet kan då tillämpas med den mätbara funktionen $h : \mathbb{R} \longrightarrow [0,\infty),$ definierad av

$h(x) = \vert x \vert$ (absolutbeloppet av det reella talet x).

Olikheten ger den övre begränsningen

$\mathbb{P}\{\vert X \vert \geq \varepsilon\} \leq \frac{1}{\varepsilon} \mathbb{E}\{\vert X \vert\}.$

För att denna uppskattning skall vara meningsfull måste väntevärdet $\mathbb{E}\{\vert X \vert\}$ vara ändligt: annars får man den oanvändbara olikheten $\mathbb{P}\{\vert X \vert \geq \varepsilon\} \leq \infty.$

Om man dessutom vet att väntevärdet $\mathbb{E}\{X^2\}$ är ändligt kan man få en bättre uppskattning av sannolikheten $\mathbb{P}\{\vert X \vert \geq \varepsilon\}$ genom att man kan dividera med talet $\varepsilon^2$ istället för med talet $\varepsilon$ :