Lognormalfördelning

Från Rilpedia

Texten från svenska Wikipedia

Lognormalfördelningen är en sannolikhetsfördelning som förekommmer inom matematisk statistik. Den beskriver fördelningen för en stokastisk variabel vars logaritm är normalfördelad. Med andra ord, om Y är en normalfördelad stokastisk variabel, så är X = exp(Y) lognormalfördelad.

Definition

En lognormalfördelad stokastisk variabel kan definieras med hjälp av täthetsfunktionen

$f(x;\mu,\sigma) = \frac{1}{x \sigma \sqrt{2 \pi}}e^{-\frac{(\ln (x) - \mu)^2}{2\sigma^2}}$

där $μ$ och $σ$ är parametrar i den normalfördelade stokastiska variabel som ges av logaritmen.

Egenskaper

En lognormalfördelad stokastisk variabel har väntevärde

$\mathrm{E}(X) = e^{\mu + \sigma^2/2}$

och varians

$\mathrm{Var}(X) = (e^{\sigma^2} - 1) e^{2\mu + \sigma^2}.\,$

Fördelningen har moment av alla ordningar, men ingen momentgenererande funktion. Det gäller också att produkter av oberoende lognormalfördelade stokastiska variabler är lognormalfördelade. Om

$X_m \sim \operatorname {Log-N} (\mu, \sigma_m^2), \ m = 1,\dots, n$