Lamberts W-funktion

Från Rilpedia

Hoppa till: navigering, sök
Wikipedia_letter_w.pngTexten från svenska WikipediaWikipedialogo_12pt.gif
rpsv.header.diskuteraikon2.gif
icon_anmal.gif
rp-wp-sv.gif
Graf av W0(x) för -1/e ≤ x ≤ 4

Lamberts W-funktion är en matematisk funktion som används för att lösa ekvationer innehållande logaritmer eller exponentialfunktioner som inte kan elimineras algebraiskt. Den betecknas W och definieras som inversen till funktionen

f(w) = wew

där w är ett komplext tal och ew betecknar exponentialfunktionen.

Innehåll

Flervärdhet

Funktionen

f(w) = w e^w\,

är inte injektiv på (−∞, 0) och W är därför en flervärd funktion på [−1/e, 0). För reella argument x ≥ −1/e kan man med kravet w ≥ −1 definiera en entydig funktion W0. Denna funktion uppfyller W0(0) = 0 och W0(−1/e) = −1.

Metod för ekvationslösning

Lamberts W-funktion uppfyller

z = W(z)e^{W(z)}\,

och kan därför tillämpas genom att skriva om ekvationer på formen c = xex där c är konstant, varefter lösningen ges av x = W(c). Exempelvis kan ekvationen 2t = 5t lösas genom omskrivningen

2^t = 5t \Rightarrow
1 = 5t e^{-t \log 2} \Rightarrow
\frac{-\log 2}{5} = (-t \log 2) \, e^{(-t \log 2)} \Rightarrow
-t \log 2 = W\left(\frac{-\log 2}{5}\right) \Rightarrow
t = \frac{-W\left(\frac{-\log 2}{5}\right)}{\log 2}.

Specifika ekvationer och värden

De ekvivalenta ekvationerna x = logx och x = ex har lösningen

x = -W(-1) \approx -0\mathrm{,}31813 + 1\mathrm{,}33724i.

Ekvationen xx = z löses av

x=\frac{\log z}{W(\log z)} = \exp\left(W(\log z)\right),

och det oändliga tornet av potenser

c = z^{z^{z^{\cdots}}} \!

antar vid konvergens värdet

c=\frac{W(-\log z)}{-\log z}.

Några specifika värden är

W\left(-\pi/2\right) = i\pi/2
W\left(-1/e\right) = -1
W\left(-\log 2/2\right)= -\log 2
W(0) = 0\,
W(e) = 1\,
W(1) = \Omega\, (omegakonstanten).

Taylorserie

Maclaurinserien till Lamberts W-funktion kan beräknas utifrån den implicita ekvationen

z = W(z) e^{W(z)}\,

genom Lagranges inverteringssats. Resultatet är

W_0(x) = \sum_{n=1}^\infty \frac{(-n)^{n-1}}{n!}\ x^n = x - x^2 + \frac{3}{2}x^3 - \frac{8}{3}x^4 + \frac{125}{24}x^5 - \cdots

som enligt kvottestet har konvergensradien 1/e.

Derivata och primitiv funktion

Derivatan ges av

\frac{d}{dx} W(x) = \frac{W(x)}{x(1 + W(x))}.

Många uttryck innehållande Lamberts W-funktion kan integreras genom variabelsubstitutionen w = W(x), det vill säga x = w ew. Speciellt gäller

\int W(x)\, dx = x \left( W(x) - 1 + \frac{1}{W(x)} \right) + C.

Differentialekvation

Lamberts W-funktion uppfyller differentialekvationen

z(1+W)\frac{dW}{dz}=W \quad z\neq -1/e.
Hämtad från "https://sv.rilpedia.org/wiki/Lamberts_W-funktion"
Personliga verktyg