Cayleys sats
Från Rilpedia
Cayleys sats är en matematisk sats inom gruppteori uppkallad efter Arthur Cayley som säger att varje grupp G är isomorf med någon permutationsgrupp. En följd av Cayleys sats är att allt som gäller för permutationsgrupper gäller för grupper i allmänhet.
Bevis
Beviset för Cayleys sats går ut på att det finns en undergrupp till den symmetriska gruppen på G, betecknad Sym(G), som är isomorf med G.
Tag ett a i G och definiera en avbildning som fa(g) = ag för alla g i G. Bilda , som är en delmängd till Sym(G).H är en grupp med funktionssammansättning som gruppoperation:
- fafb(g) = fa(fb(g)) = fa(bg) = abg = fab(g)
dvs, fafb = fab. Det neturala elementet i Sym(G) ligger i H eftersom . Inversen till fa ges av . Detta ger att H är en grupp, specifikt en delgrupp till Sym(G).
H är i själva verket isomorf med G, ty definierad som φ(a) = fa är en isomorfi:
- φ är injektiv, ty om φ(a) = φ(b) är fa = fb som ger .
- Att φ är surjektiv följer ur definitionen.
- Att φ är en grupphomomorfi, dvs att φ(a)φ(b) = φ(ab) följer ur fafb = fab.
De tre egenskaperna ovan ger att φ är en isomorfi. Alltså är gruppen G isomorf med permutationsgruppen H, vilket bevisar Cayleys sats.