Cayleys sats

Från Rilpedia

Hoppa till: navigering, sök
Wikipedia_letter_w.pngTexten från svenska WikipediaWikipedialogo_12pt.gif
rpsv.header.diskuteraikon2.gif

Cayleys sats är en matematisk sats inom gruppteori uppkallad efter Arthur Cayley som säger att varje grupp G är isomorf med någon permutationsgrupp. En följd av Cayleys sats är att allt som gäller för permutationsgrupper gäller för grupper i allmänhet.

Bevis

Beviset för Cayleys sats går ut på att det finns en undergrupp till den symmetriska gruppenG, betecknad Sym(G), som är isomorf med G.

Tag ett a i G och definiera en avbildning  f_a: G \to G som fa(g) = ag för alla g i G. Bilda  H = \{f_a: a \in G \} , som är en delmängd till Sym(G).H är en grupp med funktionssammansättning som gruppoperation:

fafb(g) = fa(fb(g)) = fa(bg) = abg = fab(g)

dvs, fafb = fab. Det neturala elementet  \varepsilon i Sym(G) ligger i H eftersom  \varepsilon = f_{1_G} . Inversen till fa ges av  f_{a^{-1}} . Detta ger att H är en grupp, specifikt en delgrupp till Sym(G).

H är i själva verket isomorf med G, ty  \phi: G \to H definierad som φ(a) = fa är en isomorfi:

φ är injektiv, ty om φ(a) = φ(b) är fa = fb som ger  f_a(1_G) = f_b(1_G) \Leftrightarrow a = b .
Att φ är surjektiv följer ur definitionen.
Att φ är en grupphomomorfi, dvs att φ(a)φ(b) = φ(ab) följer ur fafb = fab.

De tre egenskaperna ovan ger att φ är en isomorfi. Alltså är gruppen G isomorf med permutationsgruppen H, vilket bevisar Cayleys sats.

Personliga verktyg