Binära talsystemet

Från Rilpedia

Hoppa till: navigering, sök
Wikipedia_letter_w.pngTexten från svenska WikipediaWikipedialogo_12pt.gif
rpsv.header.diskuteraikon2.gif
Den egyptiska guden Horus öga som användes av egyptierna för att räkna binärt.

Det binära talsystemet är en representation för tal som har talbasen två. Det betyder att enbart två olika siffror används, ett och noll. Binära tal används praktiskt taget av alla datorer eftersom de använder digital elektronik och boolesk algebra (eller binär algebra som det också kallas). I Europa var Caramuel först med att beskriva det binära talsystemet som han då kallade Dyadik. Medan Gottfried Leibniz gjorde det känt för en bredare publik. Talsystemet upptäcktes dock långt tidigare av den forntida matematikern Pingala.

Det binära talsystemets talföljd består bara av 2 siffror, 0 och 1. Nästa tal är det, av de talen som kan skrivas med ettor och nollor, som kommer näst i sifferraden. Så talen blir: 0, 1, 10, 11, 100, 101, 110, 111, 1000, 1001, 1010, 1011, 1100, 1101, 1110, 1111, 10 000 o.s.v

De gamla egyptierna använde det binära talsystemet för att skriva bråktal i decimalform. De använde dock inte ettor och nollor, utan de använde sig av en symbol kallad 'Horus öga'. Olika delar av symbolen motsvarade olika positioner på höger sida om kommatecknet. Om just den delen ritades ut motsvarade det en etta på den positionen, om den utelämnades motsvarade det en nolla. [1]

Precis som i det decimala talsystemet är den högra siffran minst signifikant. Med enbart den siffran kan talet 0 och 1 beskrivas. För att beskriva talet 2 måste en ny siffra skrivas till vänster om den första, det vill säga '10', varpå talet 3 följer representerat som '11'. Detta fortgår på samma maner ju högre upp man behöver komma.

Exempel på hur man kan skriva för att konvertera ett binärt tal till decimaltal:

Om det binära talet är 10101101 så är det decimala talet

 1·27 + 0·26 + 1·25 + 0·24 + 1·23 + 1·22 + 0·21 + 1·20 =

 128 + 0 + 32 + 0 + 8 + 4 + 0 + 1 = 173

Om ett binärkomma finns närvarande så representerar siffrorna till höger om det en mot höger ökande negativ tvåpotens. Exempel:

   11,0012 = 1·21 + 1·20 + 0·2-1 + 0·2-2 + 1·2-3 = 2 + 1 + 0 + 0,125 = 3,12510

Vid representation av tal med decimaler är det dock idag mycket vanligare att använda IEEE:s flyttalsrepresentation


Innehåll

Horners metod

En intressant egenskap i det binära talsystemet är att en multiplikation med två erhålles genom att helt enkelt skifta alla siffror en plats åt vänster och sätta dit en nolla. Denna egenskap ger följande intressanta variant av Horners metod: För att enkelt beräkna det decimala värdet av ett binärt tal i huvudet behöver du bara läsa talet från vänster och multiplicera varje delsumma med två; om den binära siffran är en etta så addera dessutom en etta till summan. Man börjar med summan 0. Med samma exempelsträng som ovan (10101101) blir det så här:

 0·2+1=1 , 1·2=2, 2·2+1=5, 5·2=10, 10·2+1=21, 21·2+1=43, 43·2=86, 86·2+1=173

Kuriosa

Innan automatiska räknemaskiner (och på sikt datorer) slog igenom betraktades det binära talsystemet (som ibland kallades dyadiskt av grekiskan dyadiko's, "hörande till tvåtal") som ett system utan praktiskt värde. Biblioteksamanuens G. Eneström skriver cirka år 1881 i Nordisk Familjebok: Visserligen förenklas genom detta beteckningssätt de artimetiska operationerna - så t.ex. erfordras vid multiplikationer alldeles ingen kännedom om multiplikationstabellen - , men i praktiken är det dyadiska systemet oanvändbart samt Numera eger nämnda system betydelser endast såsom en kuriositet.[1]

Se även

Andra talsystem

Referenser

  1. http://runeberg.org/nfad/0028.html

Personliga verktyg