Från Rilpedia

Inom den gren av matematiken som kallas funktionalanalys är Banach-Steinhaus sats eller satsen om likformig begränsning som den också kallas ett ofta använt resultat.

Banach-Steinhaus sats

Låt X och Y vara två normerade vektorrum och en familj av begränsade linjära operatorer Denna familj besitter följande två egenskaper:

• Operatornormerna är begränsade om vektornormerna är begränsade, för varje punkt x i en icke-mager delmängd av rummet X.
• Operatornormerna är begränsade om vektornormerna är begränsade, för varje punkt x i Banachrummet X.

Användning av Banach-Steinhaus sats

En omedelbar konsekvens av Banach-Steinhaus sats är den så kallade Principen om kondensation av singulariteter: Om X är ett Banachrum och F_n är en familj av obegränsade linjära operatorer från X till något annat linjärt rum Y så gäller att

är tät i X.

Ett annat viktigt resultat som kan visas med hjälp av Banach-Steinhaus sats är att de flesta kontinuerliga periodiska funktioner inte konvergerar punktvis till sin Fourierserieutveckling. Mer precist: för varje gäller att mängden av funktioner i vars Fourierserie divergerar i x är tät i .

Det är också Banach-Steinhaus sats, tillsammans med det faktum att grafen till Wienerprocessen har ändlig kvadratisk variation, som tvingade fran begreppet stokastisk integral och därmed det nya området stokastisk analys.

Bevis av Banach-Steinhaus sats

Beviset bygger på Baires kategorisats och begreppet mager mängd.