Andragradsekvation

Från Rilpedia

Hoppa till: navigering, sök

Texten från svenska Wikipedia

Denna artikel behandlar andragradsekvationer med en obekant.

Inom matematiken är en andragradsekvation en ekvation av följande form:

$a x^2 + b x + c = 0, \quad a \ne 0.$

Talen a, b och c är ekvationens koefficienter och uttrycket $a\neq 0$ betyder att talet a inte är lika med talet noll. Ordet andragrad- kommer av det faktum att det är talet 2 som är den högsta potensen med vilken det obekanta talet x förekommer i ekvationen. Om den högsta potensen är andra positiva heltal får ekvationen namn därefter; så är exempelvis

$x - 1 = 0$ en förstagradsekvation;
$x 2 - 1 = 0$ en andragradsekvation;
$x 3 - 1 = 0$ en tredjegradsekvation;
$x 4 - 1 = 0$ en fjärdegradsekvation;
$x 5 - 1 = 0$ en femtegradsekvation.

Innehåll

1 Lösning av ekvationen
2 Lösningsformeln
- 2.1 Formeln
- 2.2 Härledning
3 Antal rötter
4 Exempel
5 Samband mellan rötter och koefficienter
- 5.1 Härledning
6 Se även

Lösning av ekvationen

Att lösa ekvationen motsvarar att finna skärningspunkterna mellan parabeln $y = x 2$ och den räta linjen $y = k x + m$ , vars lutning k är lika med talet -b/a och som skär y-axeln i punkten (0,m), där talet m = -c/a. Andragradsekvationen kan därför skrivas som ett ekvationssystem:

$\begin{cases}y=x^2;\\y=-\frac{b}{a} \, x - \frac{c}{a}.\end{cases}$

En andragradsekvation har en eller två lösningar, som är reella eller komplexa tal, beroende på vilka tal som är ekvationens koefficienter:

Ekvationen $x 2 + 2 x + 1 = 0$ har endast en lösning;
ekvationen $x 2 + 2 x - 1 = 0$ har två lösningar som är reella tal;
ekvationen $x 2 + 2 x + 2 = 0$ har två lösningar som är konjugerade komplexa tal.

Ekvationens så kallade diskriminant avgör vilket av de tre fallen som kommer att uppstå. (Se nedan om diskriminanten till en andragradsekvation.)

Lösningsformeln

Formeln

Lösningsformeln för andragradsekvationen $a x 2 + b x + c = 0$ har följande form:

$x = -\frac{b}{2a} \pm \sqrt{\frac{b^2}{(2a)^2} - \frac{c}{a}}.$

Härledning

Formeln för andragradsekvationens lösningar, eller rötter, kan härledas genom att tillämpa kvadratkomplettering. Först bryts koefficienten a ut:

$ax^2+bx+c= a\left(x^2 + \frac{b}{a} \, x + \frac{c}{a}\right), \qquad a \neq 0.$

Sedan kvadratkompletteras uttrycket inom parenteser ovan, genom att lägga till och dra ifrån $(b / 2 a) 2$ :

$x^2 + \frac{b}{a} \, x + \frac{c}{a} = \left\{ x^2 + 2 \, \left( \frac{b}{2a} \right) \, x + \left( \frac{b}{2a} \right)^2 \right\} - \left( \frac{b}{2a} \right)^2 + \frac{c}{a}.$

Genom att användande av kvadreringsreglerna skrivs uttrycket sedan inom krull-parenteserna {...} som kvadraten av talet $x + b / 2 a$ :

$x^2 + 2 \, \left( \frac{b}{2a} \right) \, x + \left( \frac{b}{2a} \right)^2 = \left(x + \frac{b}{2a}\right)^2.$

Att lösa andragradsekvationen $a x 2 + b x + c = 0$ har nu blivit samma sak som att lösa följande andragradsekvation:

$a \left\{\left(x + \frac{b}{2a}\right)^2 - \left(\frac{b^2}{4a^2} - \frac{c}{a}\right)\right\} = 0.$

Vi vet att talet a inte är lika med noll, varför uttrycket inom krull-parenteserna {...} måste vara lika med noll:

$\left(x + \frac{b}{2a}\right)^2 - \left(\sqrt{\frac{b^2}{4a^2} - \frac{c}{a}}\right)^2 = 0.$

Med hjälp av konjugatregeln kan vi skriva denna andragradsekvation som två förstagradsekvationer:

$\left(x + \frac{b}{2a} + \sqrt{\frac{b^2}{4a^2} - \frac{c}{a}}\right)\left(x + \frac{b}{2a} - \sqrt{\frac{b^2}{4a^2} - \frac{c}{a}}\right) = 0.$

Om den första faktorn är lika med noll får vi följande ekvation:

$x + \frac{b}{2a} + \sqrt{\frac{b^2}{4a^2} - \frac{c}{a}} = 0 \qquad \Longleftrightarrow \quad x = -\frac{b}{2a} - \sqrt{\frac{b^2}{4a^2} - \frac{c}{a}}.$

Om den andra faktorn är lika med noll får vi:

$x + \frac{b}{2a} - \sqrt{\frac{b^2}{4a^2} - \frac{c}{a}} = 0 \qquad \Longleftrightarrow \quad x = -\frac{b}{2a} + \sqrt{\frac{b^2}{4a^2} - \frac{c}{a}}.$

Antal rötter

Antalet rötter som andragradsekvationen $a x 2 + b x + c = 0$ har, beror på ekvationens så kallade diskriminant, D, som är det uttryck som står under kvadratrot-symbolen:

$D = \frac{b^2}{4a^2} - \frac{c}{a}.$

En rot

Andragradsekvationen har en rot om, och endast om, diskriminanten är lika med noll:

$D = 0 \quad \Longleftrightarrow x = -\frac{b}{2a}.$

Villkoret $D = 0$ kan bara uppfyllas av en speciell sorts andragradsekvation:

$ax^2 + bx + \frac{b^2}{4a} = 0.$

Två reella rötter

Andragradsekvationen har två olika rötter som båda är reella tal om, och endast om, diskriminanten är ett positivt tal:

$D > 0 \quad \Longleftrightarrow x = -\frac{b}{2a} \pm \sqrt{D}.$

Två komplexa rötter

Andragradsekvationen har två olika rötter som båda är komplexa tal om, och endast om, diskriminanten är ett negativt tal; Vi uttrycker det negativa talet D med hjälp av absolutbelopp-funktionen: $D = - \vert D \vert.$

$D < 0 \quad \Longleftrightarrow x = -\frac{b}{2a} \pm \sqrt{-1}\sqrt{\vert D \vert}.$

De två rötterna utgör vad som kallas ett komplext konjugat-par, vilket innebär att den ena roten är det motsvarande konjugerade komplexa talet av den andra roten.

Exempel

En rot

Andragradsekvationen $x 2 + 2 x + 1 = 0$ har bara en rot, eftersom ekvationens diskriminant är lika med noll:

$a = 1, \, b = 2, \, c = 1 \quad \Longrightarrow \quad D = \frac{b^2}{4a}-\frac{c}{a} = \frac{4}{4} - \frac{1}{1} = 0.$

Roten är talet $- 1$ :

Två reella rötter

Andragradsekvationen $x 2 + 2 x - 1 = 0$ har två rötter som båda är reella tal, eftersom ekvationens diskriminant är ett positivt tal:

$a = 1, \, b = 2, \, c = -1 \quad \Longrightarrow \quad D = \frac{b^2}{4a}-\frac{c}{a} = \frac{4}{4} + \frac{1}{1} = 2.$

De båda rötterna är

$-1 + \sqrt{2} \quad och \quad -1 - \sqrt{2}$ .

Två komplexa rötter

Andragradsekvationen $x 2 + 2 x + 3 = 0$ har två rötter som båda är komplexa tal, eftersom ekvationens diskriminant är ett negativt tal:

$a = 1, \, b = 2, \, c = 3 \quad \Longrightarrow \quad D = \frac{b^2}{4a}-\frac{c}{a} = \frac{4}{4} - \frac{3}{1} = -2.$

De båda rötterna är det komplexa konjugat-paret

$-1 + i \sqrt{2} \quad och \quad -1 - i \sqrt{2},$

där vi har använt symbolen i för att beteckna den imaginära enheten, $i = \sqrt{-1}$ .

Samband mellan rötter och koefficienter

Om ekvationen skrivs på formen $\ x^2+px+q=0$ gäller följande samband med dess lösningar, $x 1$ och $x 2$ , och dess koefficienter p och q:

$\begin{cases} p = -(x_1 + x_2), \\ q = x_1 \cdot x_2. \end{cases}$

Talet $- p / 2$ är därför det aritmetiska medelvärdet av ekvationens lösningar och talet $\sqrt{q}$ är det geometriska medelvärdet av lösningarna, förutsatt att koefficienten q är ett positivt tal:

$-\frac{p}{2} = \frac{x_1+x_2}{2} \quad och \quad \sqrt{q} = \sqrt{x_1 \cdot x_2}.$

Härledning

Talen $x 1$ och $x 2$ är rötter till en andragradsekvation om, och endast om, ekvationen kan skrivas som en produkt av två faktorer som båda är av första ordningen:

$(x - x_1)(x - x_2).\,$

Om vi utvecklar detta uttryck ser vi sambandet mellan andragradsekvationens koefficienter och dess lösningar:

$x^2 + \underbrace{\{-(x_1+x_2)\}}_{=p}x + \underbrace{x_1 \cdot x_2}_{=q}.$

Se även

Andragradsekvation

Från Rilpedia

Innehåll

Lösning av ekvationen

Lösningsformeln

Formeln

Härledning

Antal rötter

En rot

Två reella rötter

Två komplexa rötter

Exempel

En rot

Två reella rötter

Två komplexa rötter

Samband mellan rötter och koefficienter

Härledning

Se även

Visningar

Personliga verktyg

Sök

Navigering

Bibeln

Övrigt

Verktygslåda

På andra språk