Favardmått

Från Rilpedia

Texten från svenska Wikipedia

Ett Favardmått eller integralgeometriskt mått är inom matematik ett mått som är viktigt för rektifierbara mängder. Favardmåttet är namngett efter den franska matematikern Jean Favard som uppfann det.

Innehåll

1 Formell definition
2 Konstanten t = 1
- 2.1 Rektiefierbara mängder
3 Egenskaper
4 Referenser
5 Se även

Formell definition

Favardmåttet är definierat med hjälp av Carathéodorys konstruktion. Man konstruerar det så att alla Borelmängder är testmängder och testmåttet är en speciell integral definierad med hjälp av Grassmannmåttet.

Mer precist, om $n \in \N$ , $0 < m < n\,$ , $t \in [0,\infty]\,$ och för $F \in \mbox{Bor}\,\R^n$

$\zeta^m_t (F) := \left\{ \begin{matrix} \left(\int_{G(n,m)} \mathcal{H}^m (P_V F)^t \, d\gamma_{n,m} (V) \right)^{1/t} , & \mbox{ om } 1 \leq t < \infty \\ \mbox{ess sup} \{ \mathcal{H}^m (P_V F) : V \in G(n,m) \} , & \mbox{ om } t = \infty , \end{matrix} \right.$

där

mängden $G(n,m)\,$ är Grassmannmångfalden,

måttet $\gamma_{n,m}\,$ är Grassmannmåttet,

integralen $\int_{G(n,m)} d\gamma_{n,m}\,$ är måttintegralen med avseende på Grassmannmåttet $\gamma_{n,m},\,$

funktionen $P_V\,$ är ortogonal projektionen på delrummet $V \in G(n,m)\,$ och

operatorn $\operatorname{ess} \sup$ är väsentligt supremum med avseende på Grassmannmåttet $\gamma_{n,m}\,$ .

Då är yttre måttet $\mathcal{I}^m_t : \mathcal{P}(X) \rightarrow [0,\infty],$ definierad som:

$\mathcal{I}^m_t (A) := \sup_{\delta > 0} \inf \left\{\sum_{i = 1}^\infty \zeta^m_t (F_i) : A \subset \bigcup_{i=1}^\infty F_i, \ d(F_i) \leq \delta, \ F_i \in \mbox{Bor}\,\R^n, \ i \in \N \right\},\,$

och detta är det m-dimensionella yttre Favardmåttet med konstanten $t\,$ .

Konstanten t = 1

Där finns en lätt formel för Favardmåttet med konstanten $t = 1\,$ . Det går att visa att

$\mathcal{I}^m_1 (A) = \int_{G(n,m)} \int_V \mathcal{H}^0 (A \cap P_V^{-1} \{v\} ) \, d\mathcal{H}^m (v) \,d\gamma_{n,m}(V),$

där

måttet $\mathcal{H}^0$ är det nolldimensionella Hausdorffmåttet, dvs räknemåttet, och

mängden

$P_V^{-1} \{v\} := \{x \in \R^n : P_V (x) = v\}\,$

för $v \in V \in G(m,n).\,$

Rektiefierbara mängder

Huvudartikel: Rektifierbar mängd

När konstanten t = 1 finns en intuitiv förklaring för namnet integralgeometriskt: låt $\Gamma \subset \R^2$ vara en rektifierbar kurva.

För en linje $L\,$ räkna (med räknemåttet) alla punkter i snittmängden $L \cap \Gamma\,$ och integrera ( $d γ 2,1$ ) detta talet över alla linjer $L \subset \R^2$ . Detta talet (Favardmåttet) är längden för kurvan $\Gamma\,$ .

Generellt, för $\mathcal{I}^m_1$ med $m > 1\,$ kan man sluta sig till samma utgång.

Egenskaper

Favardmåttets egenskaper är inte väl känt. Det går att visa att

$\mathcal{I}^1_1 \neq \mathcal{I}^1_t\,$

när $t > 1\,$ men man vet inte för vilka $m > 1$ det gäller att:

$\mathcal{I}^m_1 \neq \mathcal{I}^m_t . \,$

Dessutom man vet inte om det finns en konstant $c(t) \in \R$ så att

$\mathcal{I}^m_t = c(t) \mathcal{I}^m_\infty\,$

för alla $1 < t < \infty\,$ .

Referenser

J. Favard, Une définition de la longueur et de l'aire, C. R. Acad. Sci. Paris vol. 194 p. 344, 1932.
H. Federer, Geometric Measure Theory, Springer-Verlag, 1969.
P. Mattila, Geometry of Sets and Measures in Euclidean Spaces: Fractals and Rectifiability, Cambridge University Press, 1995.

Se även

Favardmått

Från Rilpedia

Innehåll

Formell definition

Konstanten t = 1

Rektiefierbara mängder

Egenskaper

Referenser

Se även

Visningar

Personliga verktyg

Sök

Navigering

Bibeln

Övrigt

Verktygslåda