Cyklisk grupp
Från Rilpedia
Inom matematiken är en cyklisk grupp en grupp som kan genereras av ett enskilt element, dvs att gruppen har ett element a (som kallas gruppens generator) sådant att varje element i gruppen är en potens av a och ekivalent att ett element a i en grupp G genererar G exakt om den enda delgruppen i G som innehåller a även är G.
Klassifikation
De cykliska grupperna är de enklaste grupperna och de är fullständigt klassificerade: för varje postitivt heltal n finns en cyklisk grupp Cn av ordning n, därutöver finns den oändliga cykliska gruppen, tilläggsgruppen vars element utgörs av heltalen Z. Varje cyklisk grupp är isomorf med en av dessa grupper.
Exempel
Mängden av heltal modulo n 
med gruppoperationen addition modulo n bildar en cyklisk grupp med generator 1.
Alla komplexa tal w som uppfyller ekvationen wn = 1 bildar en grupp under multiplikation.
Egenskaper
En cyklisk grupp är alltid kommutativ, eftersom aman = am + n = an + m = anam . Cykliska grupper är alltså abelska grupper. Abelska grupper är moduler över ringen Z av heltal, och en abelsk grupp är cyklisk som grupp precis om den är en cyklisk Z-modul.
Varje delgrupp i en cyklisk grupp är cyklisk.
Om a genererar en cyklisk grupp G av ordning n så får elementet ak ordningen:
där 
är största gemensamma delare. Så att elementet ak är en generator till G om och endast k och n är relativt prima.
För cykliska grupper gäller även omvändningen till Lagranges sats, dvs om G är en grupp av ordning n och k > 0 delar n så finns en undergrupp i G som har ordning k.
