Matrislogaritm

Från Rilpedia

Version från den 23 april 2009 kl. 15.12 av Xqbot (Diskussion)

(skillnad) ← Äldre version | Nuvarande version (skillnad) | Nyare version → (skillnad)

Hoppa till: navigering, sök

Texten från svenska Wikipedia

Inom matematiken är matrislogaritm en generalisering av begreppet logaritm till att gälla även kvadratiska matriser. Matrislogaritmen är den inversa matrisfunktionen till matrisexponentialen.

Definition och egenskaper

En matris $B$ är logaritmen till en matris $A$ om $A$ är matrisexponentialen av $B$ :

e B = A

Matrislogaritmen har följande egenskaper:

En matris har en logaritm om och endast om den är inverterbar.
En reell matris kan ha en komplex matris som logaritm.
Matrislogaritmen är inte unik.

Beräkning

För diagonaliserbara matriser

Om $D$ är en diagonalmatris är logaritmen av $D$ en diagonalmatris med diagonalelement som är logaritmen (för skalärer) av $D$ s diagonalelement, dvs:

$\ln{ \begin{pmatrix} \lambda_1 & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & \lambda_2 & \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & 0 & \cdots & \lambda_n \end{pmatrix}} = \begin{pmatrix} \ln{\lambda_1} & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & \ln{\lambda_2} & \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & 0 & \cdots & \ln{\lambda_n} \end{pmatrix}$

För en diagonaliserbar matris $A$ , dvs $A = T D T - 1$ , gäller att $\ln{A} = T\ln{D}T^{-1}\,$ .

För ej diagonaliserbara matriser

Alla kvadratiska matriser kan skrivas på Jordans normalform, dvs $A = T J T - 1$ där $J$ är en blockdiagonal matris där blocken är Jordanblock. Ett Jordanblock $J p$ kan skrivas som:

$J_p = \begin{pmatrix} \lambda & 1 & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & \lambda & 1 & \cdots & 0 \\ 0 & 0 & \lambda & \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & 0 & 0 & 0 & \lambda \end{pmatrix} =\lambda \begin{pmatrix} 1 & \lambda^{-1} & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & 1 & \lambda^{-1} & \cdots & 0 \\ 0 & 0 & \lambda & \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & 0 & 0 & 0 & \lambda^{-1} \end{pmatrix} =\lambda(1+N)$