Rot av tal
Från Rilpedia
Texten från svenska Wikipedia
Rot av tal kallas mer korrekt för den n:te roten till ett tal.
![\sqrt[n]{a}=x](/w/images/sv.rilpedia.org/math/6/c/4/6c43b8213b7a44c215d14f22349c56a7.png)
En n:te rot till ett tal a är ett tal x sådant att xn=a. Rottecknet är en operator på talet a.
- Om n=2 kallas det kvadratrot, det som ofta avses med "roten ur" ett tal.
- Om n=3 kallas det kubikrot.
Innehåll |
Beräkning
Kvadratrötter kan beräknas med exponential- och logaritmfunktionerna
![\sqrt[n]{x} = e^{\frac {\ln x}{n}}](/w/images/sv.rilpedia.org/math/c/c/3/cc3814a8c4bfbe08c9b5971e15ef3c8a.png)
eller enligt definitionen av potens (se även potenslagarna)
![\sqrt[n]{x} = x^{\frac{1}{n}}](/w/images/sv.rilpedia.org/math/f/b/9/fb9aa859c71159365877c3a204bf7e68.png)
Algoritm
För att beräkna ![\sqrt[n]{A}](/w/images/sv.rilpedia.org/math/3/0/7/3078170f7aedde3f7a90dcfb305c6533.png)
kan följande algoritm användas:
- Gör en första gissning x0 (desto närmare desto snabbare konvergerar algoritmen).
![x_{k+1} = \frac{1}{n} \left[{(n-1)x_k +\frac{A}{x_k^{n-1}}}\right]](/w/images/sv.rilpedia.org/math/6/0/9/609d6ace4927f7ffd374fa504c34e617.png)
- Upprepa steg 2 tills önskad precision är uppnådd
Härledning
Denna algoritm kan härledas från Newton-Raphsons metod.
![\sqrt[n]{A} = x \Leftrightarrow x^n - A = 0](/w/images/sv.rilpedia.org/math/9/c/3/9c3482af70de6be7826fac345b8c7324.png)
Vi söker alltså nollstället till 
. Iterationsformeln blir
![x_{k+1} = x_k - \frac{f(x_k)}{f'(x_k)} = x_k - \frac{x_k^n - A}{n \cdot x_k^{n-1}} = \frac{n \cdot x_k^n - (x_k^n - A)}{n \cdot x_k^{n-1}} = \frac{1}{n} \left[{(n-1)x_k +\frac{A}{x_k^{n-1}}}\right]](/w/images/sv.rilpedia.org/math/a/6/3/a631610135843611dc526191700831fa.png)
Ett känt specialfall är då n = 2 som är mer känt som den babyloniska metoden.
Se även
Källor
- Matematisk uppslagsbok, William Karush, W&W, 1962
