Riemann-Stieltjes integral

Från Rilpedia

Texten från svenska Wikipedia

Riemann-Stieltjes integral, även kallad Stieltjesintegral, är inom matematisk analys en speciell integral, som kan ses som en generalisering av Riemannintegralen, uppkallad efter matematikern Thomas Joannes Stieltjes. Vid vanlig Riemannintegrering integrerar man med hänsyn till $x$ -axeln, men vid Riemann-Stieltjes-integrering integrerar man med hänsyn till en annan funktion.

Innehåll

1 Definition och existens
- 1.1 Konstruktion av integralen
- 1.2 Existens med epsilon
2 Egenskaper
3 Tillämpningar

Definition och existens

Konstruktion av integralen

Ett intervall av reella tal kallat $[a, b]$ kan delas in i flera delintervall med en partition, $P$ , som består av ändligt många punkter $x 0, x 1,..., x n$ sådana att

$a = x_0 \leq x_1 \leq x_2 \leq ... \leq x_{n-1} \leq x_n = b$ .

För två begränsade funktioner på intervallet, $f (x)$ och $α(x)$ inför vi differensoperatorn:

$\Delta \alpha_k = \alpha(x_k) - \alpha(x_{k-1})\,$ .

Då $f (x)$ är begränsad på $[a, b]$ kan vi hitta ett supremum respektive infimum för funktionsvärdena på dessa intervall och inför beteckningarna:

$M_k = \sup f(x) ~~~ (x_{k-1} \leq x \leq x_k)$

$m_k = \inf f(x) ~~~~ (x_{k-1} \leq x \leq x_k)$

Vi får nu två summor, beroende på partitionen $P$ och funktionerna $f$ samt $α$ :

$U(P, f, \alpha) = \sum_{k=1}^n M_k \Delta \alpha_k$

$L(P, f, \alpha) = \sum_{k=1}^n m_k \Delta \alpha_k$

$U(P, f, \alpha) \geq L(P, f, \alpha)$ (då $M_i \geq m_i$ ).

Låt vidare $\mathcal{P}$ vara mängden av alla partitioner av $[a, b]$ och om

$\inf_{P \in \mathcal{P}} U(P, f, \alpha) = \sup_{P \in \mathcal{P}} L(P, f, \alpha)$

säger man att integralen existerar, vilket beteknas med $f \in \mathfrak{R}(\alpha)$ , och betecknar värdet med:

$\int_a^b f \, d\alpha$ eller $\int_a^b f(x) \, d\alpha(x)$ .

Om man väljer $α(x) = x$ fås den vanliga Riemannintegralen.

Existens med epsilon

$f \in \mathfrak{R}(\alpha)$ om och endast om det för varje $ε > 0$ existerar en partition $P$ så att

$U(P, f, \alpha) - L(P, f \alpha) < \epsilon \,$ .

Detta korta avsnitt behöver utökas.

Egenskaper

För strängt ökande $α$ och $f, f_1, f_2 \in \mathfrak{R}(\alpha)$ och $c \in \mathbb{R}$ har integralen följande egenskaper:

$f_1 + f_2 \in \mathfrak{R}(\alpha)$ och $\int_a^b(f_1+f_2) \, d\alpha =\int_a^b f_1 \, d\alpha +\int_a^b f_2 \, d\alpha$ .
$cf \in \mathfrak{R}(\alpha)$ och $\int_a^b cf \, d\alpha = c\int_a^b f \, d\alpha$ .
Om $f_1 \leq f_2$ så $\int_a^b f_1 \, d\alpha \leq \int_a^b f_2 \, d\alpha$ .
Om $a < c < b$ så $\int_a^c f \, d\alpha + \int_c^b f \, d\alpha = \int_a^b f \, d\alpha$