Egenskaper hos måttintegral

Från Rilpedia

Hoppa till: navigering, sök
Wikipedia_letter_w.pngTexten från svenska WikipediaWikipedialogo_12pt.gif
rpsv.header.diskuteraikon2.gif
Denna artikel utgör en fördjupning av artikeln om måttintegral.

Måttintegraler har några intressanta egenskaper. Låt (X,\mathcal{F},\mu) vara ett måttrum, \int \, d\mu vara ett måttintegral med avseende på måttet µ och f och g vara mätbara funktioner X \rightarrow \overline{\R}.

Innehåll

Grundläggande egenskaper

Måttintegraler dessa grundläggande egenskaper.

Monotonicitet: om f \leq g så är

\int f \,d\mu\leq \int g\,d\mu\,.

Linjäritet: om f och g är integrerbara så är summan af+bg\, också integrerbar och

\int (af+bg) \,d\mu= a\int f \,d\mu+ b\int g\,d\mu\,

för alla a,b \in \R.

Triangelolikheten för integraler: absolutbeloppet av integralen är mindre än integralen av absolutbeloppet:

\left| \int f \,d\mu\right| \leq \int |f|\,d\mu\,.

Additivitet för funktioner: om f_1,...,f_n\, är integrerbara funktioner så är

\int \sum_{k=1}^n f_k\,d\mu = \sum_{k=1}^n \int f_k\,d\mu

Additivitet för mängder: om f\, är mäbara funktionen och A_1,...,A_n\, är parvis disjunkta mätbara mängder så är

\int_{A_1\cup\ldots\cup A_n} f\,d\mu = \sum_{k=1}^n \int_{A_k}  f\,d\mu

Nollmängder

Nollmängder påverkar inte måttintegraler.

  • Om \mu (A) =0\, så är
\int_A f \,d\mu= 0\,.
\int f \,d\mu= \int g \,d\mu\,.

Konvergenssatser

Måttintegraler har många konvergenssatser. Konvergenssatser kallas de villkor som leder till

\int \lim_{i \rightarrow \infty} f_i\,d\mu = \lim_{i \rightarrow \infty} \int f_i\,d\mu,

där (f_i)_{i \in \mathbb{N}}\, är integrerbara funktioner för alla i \in \N, så att det finns

\lim_{i \rightarrow \infty} f_i.

Med andra ord är en konvergenssats ett tillräckligt villkor för att man ska kunna byta ordning på gränsvärde och integral.

Monotona konvergenssatsen: om 0 \leq f_1 \leq f_2 \leq \ldots så existerar gränsvärdet \lim_{i \rightarrow \infty} f_i och

\int \lim_{i \rightarrow \infty} f_i\,d\mu = \lim_{i \rightarrow \infty} \int f_i\,d\mu.

Dominerade konvergenssatsen: om det finns en funktion g som är integrerbar så att |f_i| \leq g för alla i \in \mathbb{N} nästan överallt och \lim_{i \rightarrow \infty} f_i(x) existerar så är

\int \lim_{i \rightarrow \infty} f_i\,d\mu = \lim_{i \rightarrow \infty} \int f_i\,d\mu.

Begränsade konvergenssatsen: om \mu (X) < \infty och |f_i| \leq C\, för alla i \in \N var C < \infty så är

\int \lim_{i \rightarrow \infty} f_i\,d\mu = \lim_{i \rightarrow \infty} \int f_i\,d\mu.

Fatous lemma: om (f_i)_{i \in \mathbb{N}}\, är mätbara funktioner så gäller att

\int \liminf_{i \rightarrow \infty} f_i\,d\mu \leq \liminf_{i \rightarrow \infty} \int f_i\,d\mu

och

\int \limsup_{i \rightarrow \infty} f_i\,d\mu \geq \limsup_{i \rightarrow \infty} \int f_i\,d\mu.

Sigma-additivitet

Måttintegralen av icke-negativa funktioner är sigma-additiv över mängder. Det vill säga om f \geq 0\, och (A_i)_{i\in\N} är uppräknelig sekvens av parvis disjunkta mängder i \mathcal{F} så är

\int_{\bigcup_{i=1}^\infty A_i} f \, d\mu = \sum_{i=1}^\infty \int_{A_i} f \, d\mu.

Detta betyder också att funktionen A \mapsto \int_A f\,, där A \in \mathcal{F}, är ett mått eftersom integralen över tomma mängden är noll.

Måttintegralen är också sigma-additiv med avseende på icke-negativa funktioner. Den här egenskapen kallas Beppo Levis sats: om f_k \geq 0 är uppräknelig sekvens av mätbara funktioner så är

\int \sum_{k=1}^\infty f_k\,d\mu = \sum_{k=1}^\infty \int f_k\,d\mu .

Detta är en enkel följd av monotona konvergenssatsen, som kan appliceras på alla delsummor av de oändliga summorna.

Se även

Källor

  • G.B. Folland, Real analysis: Modern techniques and their applications, Second edition, Wiley interscience, (1999)
Personliga verktyg