Egenskaper hos måttintegral

Från Rilpedia

Hoppa till: navigering, sök

Texten från svenska Wikipedia

Denna artikel utgör en fördjupning av artikeln om måttintegral.

Måttintegraler har några intressanta egenskaper. Låt $(X,\mathcal{F},\mu)$ vara ett måttrum, $\int \, d\mu$ vara ett måttintegral med avseende på måttet µ och f och g vara mätbara funktioner $X \rightarrow \overline{\R}$ .

Grundläggande egenskaper

Måttintegraler dessa grundläggande egenskaper.

Monotonicitet: om $f \leq g$ så är

$\int f \,d\mu\leq \int g\,d\mu\,$ .

Linjäritet: om f och g är integrerbara så är summan $af+bg\,$ också integrerbar och

$\int (af+bg) \,d\mu= a\int f \,d\mu+ b\int g\,d\mu\,$

för alla $a,b \in \R$ .

Triangelolikheten för integraler: absolutbeloppet av integralen är mindre än integralen av absolutbeloppet:

$\left| \int f \,d\mu\right| \leq \int |f|\,d\mu\,$ .

Additivitet för funktioner: om $f_1,...,f_n\,$ är integrerbara funktioner så är

$\int \sum_{k=1}^n f_k\,d\mu = \sum_{k=1}^n \int f_k\,d\mu$

Additivitet för mängder: om $f\,$ är mäbara funktionen och $A_1,...,A_n\,$ är parvis disjunkta mätbara mängder så är

$\int_{A_1\cup\ldots\cup A_n} f\,d\mu = \sum_{k=1}^n \int_{A_k} f\,d\mu$

Nollmängder

Nollmängder påverkar inte måttintegraler.

Om $\mu (A) =0\,$ så är

$\int_A f \,d\mu= 0\,$ .

Om $f=g\,$ µ-nästan överallt så är

$\int f \,d\mu= \int g \,d\mu\,$ .

Konvergenssatser

Måttintegraler har många konvergenssatser. Konvergenssatser kallas de villkor som leder till

$\int \lim_{i \rightarrow \infty} f_i\,d\mu = \lim_{i \rightarrow \infty} \int f_i\,d\mu$ ,

där $(f_i)_{i \in \mathbb{N}}\,$ är integrerbara funktioner för alla $i \in \N$ , så att det finns

$\lim_{i \rightarrow \infty} f_i$ .

Med andra ord är en konvergenssats ett tillräckligt villkor för att man ska kunna byta ordning på gränsvärde och integral.

Monotona konvergenssatsen: om $0 \leq f_1 \leq f_2 \leq \ldots$ så existerar gränsvärdet $\lim_{i \rightarrow \infty} f_i$ och

$\int \lim_{i \rightarrow \infty} f_i\,d\mu = \lim_{i \rightarrow \infty} \int f_i\,d\mu$ .

Dominerade konvergenssatsen: om det finns en funktion $g$ som är integrerbar så att $|f_i| \leq g$ för alla $i \in \mathbb{N}$ nästan överallt och $\lim_{i \rightarrow \infty} f_i(x)$ existerar så är

$\int \lim_{i \rightarrow \infty} f_i\,d\mu = \lim_{i \rightarrow \infty} \int f_i\,d\mu$ .

Begränsade konvergenssatsen: om $\mu (X) < \infty$ och $|f_i| \leq C\,$ för alla $i \in \N$ var $C < \infty$ så är

$\int \lim_{i \rightarrow \infty} f_i\,d\mu = \lim_{i \rightarrow \infty} \int f_i\,d\mu.$

Fatous lemma: om $(f_i)_{i \in \mathbb{N}}\,$ är mätbara funktioner så gäller att

$\int \liminf_{i \rightarrow \infty} f_i\,d\mu \leq \liminf_{i \rightarrow \infty} \int f_i\,d\mu$

och

$\int \limsup_{i \rightarrow \infty} f_i\,d\mu \geq \limsup_{i \rightarrow \infty} \int f_i\,d\mu$ .

Sigma-additivitet

Måttintegralen av icke-negativa funktioner är sigma-additiv över mängder. Det vill säga om $f \geq 0\,$ och $(A_i)_{i\in\N}$ är uppräknelig sekvens av parvis disjunkta mängder i $\mathcal{F}$ så är

$\int_{\bigcup_{i=1}^\infty A_i} f \, d\mu = \sum_{i=1}^\infty \int_{A_i} f \, d\mu.$

Detta betyder också att funktionen $A \mapsto \int_A f\,$ , där $A \in \mathcal{F}$ , är ett mått eftersom integralen över tomma mängden är noll.

Måttintegralen är också sigma-additiv med avseende på icke-negativa funktioner. Den här egenskapen kallas Beppo Levis sats: om $f_k \geq 0$ är uppräknelig sekvens av mätbara funktioner så är

$\int \sum_{k=1}^\infty f_k\,d\mu = \sum_{k=1}^\infty \int f_k\,d\mu .$

Detta är en enkel följd av monotona konvergenssatsen, som kan appliceras på alla delsummor av de oändliga summorna.

Se även

Måttintegral

Källor

G.B. Folland, Real analysis: Modern techniques and their applications, Second edition, Wiley interscience, (1999)

Egenskaper hos måttintegral

Från Rilpedia

Innehåll

Grundläggande egenskaper

Nollmängder

Konvergenssatser

Sigma-additivitet

Se även

Källor

Visningar

Personliga verktyg

Sök

Navigering

Bibeln

Övrigt

Verktygslåda