Bevis
Från Rilpedia
 |
Denna artikel behöver fler källor för att verifieras. Förbättra gärna artikeln genom att lägga till fler pålitliga källor (använd helst fotnoter) Material som inte är verifierbart kan ifrågasättas eller tas bort. |
Ett bevis (även kallat slutledning eller härledning) är en övertygande argumentationskedja som visar att en viss slutsats (konklusion) gäller, förutsatt vissa grundvillkor (sanna eller giltiga premisser).
Matematiken genomsyras helt och hållet av bevis. Alla nya resultat måste kunna bevisas för att de ska godkännas som sanna. I praktiken är det dock alltid en balansgång mellan att dels producera så rigorösa ("täta") bevis som möjligt, dels att producera lättförståeliga bevis som lätt kan följas och kontrolleras av andra matematiker. Det har hänt flera gånger i matematikhistorien att man har hittat fel i bevisen för satser som tidigare antagits vara sanna. Beviset för fyrfärgsteoremet var under en period kontroversiellt eftersom det innehöll för den tiden nya (datorberoende) kontrollmetoder, men nu accepteras dessa varför satsen får antas vara sann.
Trots detta kan inte matematiken skyllas för människors misstag. Ett matematiskt bevis leder alltid till absolut sanning[1] och kan inte jämföras med vetenskapen som hela tiden, i framtiden, kan bli ogiltig för mer generella fall. Jämför hur Newtons lagar fick ge plats åt Einstens relativitesteorier vid mycket höga hastigheter och i accelererade system.
Inom logik studeras bevis mer ingående (se bevisteori). Det har visat sig att matematiska bevis kan formaliseras till en följd av många små argumentationssteg. Inom ramen för första ordningens logik kan man definiera detta exakt och få vad man kallar ett härledningssystem. Ett sådant system har ett antal härledningsregler som motsvarar var och en av argumentationsstegen, och den kanske mest grundläggande av alla härledningsregler överhuvudtaget är modus ponens. En härledning i denna logiska betydelse består av en ändlig följd av formler F0, F1, F2, ... , Fn, där några av formlerna är givna som premisser (antaganden, axiom) för resonemanget. Till varje formel i härledningen hör även information om ur vilka andra formler den följer. Den sista formeln Fn kan kallas härledningens slutsats (konklusion), förutsatt att den följer endast ur de formler som från början var givna som premisser, och inte med hjälp av några andra formler.
Exempel på en härledning:
- F0: Varje primtal är udda. (Detta är inte sant; det finns ett jämnt primtal, nämligen 2.)
- F1: p är ett primtal.
- F2: p är udda.
F0 och F1 är härledningens premisser, dvs de påståenden som argumentationen utgår ifrån. F2 är härledningens konklusion. Att F2 följer ur F0 och F1 borde vara klart för alla som betraktar härledningen. Den härledningsregel som tillåter oss dra slutsatsen F2 ur F0 och F1 kallas universell specifiering. Observera att F0 är falsk, eftersom det jämna talet 2 är ett primtal. Detta faktum hindrar dock inte härledningen från att vara korrekt. Minns att en härledning är en argumentationskedja som garanterar att slutsatsen håller, förutsatt vissa premisser. Alltså är det sant att säga att p verkligen är udda under de givna antagandena. Om premissernas sanningshalt är oviss kallas konklusionen petitio principii, vilket är ett materiellt bevisfel och leder till att beviset inte är bindande.
Observera även att man behöver inte alls förstå betydelsen av begreppen "primtal" och "udda" för att inse att härledningen är korrekt. Man hade likaväl kunna byta ut dessa termer mot några mer generella:
- F3: Varje X är Y.
- F4: p är X.
- F5: p är Y.
Detta är en korrekt härledning av vilken den tidigare är ett specialfall. Det som spelar roll för om en härledning är korrekt eller ej är alltså härledningens form, och inte betydelsen av de ingående termerna.
Några vanliga metoder för bevis är
Ibland går det att bevisa att ett påstående INTE går att bevisa utgående från de givna premisserna se till exempel kontinuumhypotesen. I många axiomatiska system går det att formulera teorem som varken kan bevisas eller motbevisas, se Gödels ofullständighetsteorem.
Se även
Referenser
- ↑ Thompson J. Martinsson T.: "Matematiklexikon", sidan 45. Wahlström & Widestrands, 2000
