Householdertransformation

Från Rilpedia

Hoppa till: navigering, sök
Wikipedia_letter_w.pngTexten från svenska WikipediaWikipedialogo_12pt.gif
rpsv.header.diskuteraikon2.gif

En Householdertransformation är inom matematiken, specifikt linjär algebra, en avbildning som i ett tredimensionellt ändligdimensionellt vektorrum med skalärprodukt reflekterar en vektor i ett plan (som innehåller origo, ett underrum). Detta kan generaliseras till alla ändligtdimensionella vektorrum som reflektion av en vektor i ett hyperplan som innehåller origo.

Transformationen kan även generaliseras till allmänna inre produktrum och kallas då Householderoperator. Transformen introducerades av Alston Scott Householder 1958.

Konstruktion och egenskaper

Ett hyperplan π kan definieras med dess normerade normalvektor, v (vektorn av längd 1 som är ortogonal till hyperplanet). Då ges Householdermatrisen Q av:

 Q = I - 2vv^* \,

Där I är enhetsmatrisen och v * är det hermiteska konjuatet av v. Q reflekterar en punkt x i π, ty:

 Qx = x - 2vv^*x = x - 2 \langle v, x \rangle v

Där  \langle \cdot, \cdot \rangle är skalärprodukten. Detta på grund av att  |\langle v, x \rangle| ger avståndet mellan x och π.

Q har ett antal bra egenskaper:

  • Q är hermitesk: Q = Q * .
  • Q är unitär: Q * = Q − 1.
  • Av detta följer att Q är sin egen invers: Q2 = I.

Vilket stämmer bra då reflektionen av x:s reflektion måste vara x.

Användning

Householdertransformationer kan användas för att QR-faktorisera en matris.

Personliga verktyg