Transponat

Från Rilpedia

Texten från svenska Wikipedia

I linjär algebra är transponatet av en matris A en annan matris betecknad $A T$ . $A T$ kan beräknas på följande ekvivalenta sätt:

Låt $A$ :s rader bilda $A T$ :s kolonner.
Låt $A$ :s kolonner bilda $A T$ :s rader.
Bilda $A T$ genom att reflektera $A$ :s element i huvuddiagonalen.

Om $a i j$ är elementet på rad $i$ , kolonn $j$ i $A$ , så ges elementen i $A T$ av:

$a_{ij}^T = a_{ji}$ .

Exempel

$\begin{pmatrix} 1 & 2 & 1 \\ 3 & 5 & 7 \\ 9 & 7 & 3 \end{pmatrix}^T = \begin{pmatrix} 1 & 3 & 9 \\ 2 & 5 & 7 \\ 1 & 7 & 3 \end{pmatrix}$

$\begin{pmatrix} 1 & 7 & 1 \\ 2 & 3 & 2 \end{pmatrix}^T = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 7 & 3 \\ 1 & 2 \end{pmatrix}$

Egenskaper

Om $A, B$ är matriser och $c$ en skalär, så har man följande egenskaper:

Transponatet är en involution:

$(A^T)^T = A \,$

Transponatet är en linjär avbildning:

$(A+B)^T = A^T+B^T\,$

$(cA)^T = cA^T\,$

Vid transponering av en produkt av matriser vänder man på ordningen:

$(AB)^T = B^TA^T\,$

Determinanten är invariant för transponering:

$\det (A^T) = \det A\,$

Om $A$ är inverterbar är transponatet av inversen är inversen av transponatet:

$(A^T)^{-1} = (A^{-1})^T\,$

Om $A$ endast har reella tal som element är $A T A$ en positivt semidefinit matris.

Speciella matriser

Om $D$ är en diagonalmatris är $D T = D$ .

En symmetrisk matris är en matris där

$A = A^T\, .$

En skevsymmetrisk matris är en matris där

$A = -A^T\, .$ .

En ortogonal matris är en matris vars transponat är dess invers:

$A^TA = AA^T = I\,$

$A^T = A^{-1}\, .$

Se även

Hermiteskt konjugat

Transponat

Från Rilpedia

Innehåll

Exempel

Egenskaper

Speciella matriser

Se även

Visningar

Personliga verktyg

Sök

Navigering

Bibeln

Övrigt

Verktygslåda

På andra språk