Riemann-Stieltjes integral

Från Rilpedia

Hoppa till: navigering, sök
Wikipedia_letter_w.pngTexten från svenska WikipediaWikipedialogo_12pt.gif
rpsv.header.diskuteraikon2.gif

Riemann-Stieltjes integral, även kallad Stieltjesintegral, är inom matematisk analys en speciell integral, som kan ses som en generalisering av Riemannintegralen, uppkallad efter matematikern Thomas Joannes Stieltjes. Vid vanlig Riemannintegrering integrerar man med hänsyn till x-axeln, men vid Riemann-Stieltjes-integrering integrerar man med hänsyn till en annan funktion.

Innehåll

Definition och existens

Konstruktion av integralen

Ett intervall av reella tal kallat [a,b] kan delas in i flera delintervall med en partition, P, som består av ändligt många punkter x0,x1,...,xn sådana att

a = x_0 \leq x_1 \leq x_2 \leq ... \leq x_{n-1} \leq x_n = b .

För två begränsade funktioner på intervallet, f(x) och α(x) inför vi differensoperatorn:

 \Delta \alpha_k = \alpha(x_k) - \alpha(x_{k-1})\,.

f(x) är begränsad på [a,b] kan vi hitta ett supremum respektive infimum för funktionsvärdena på dessa intervall och inför beteckningarna:

 M_k = \sup f(x) ~~~ (x_{k-1} \leq x \leq x_k)
 m_k = \inf f(x) ~~~~ (x_{k-1} \leq x \leq x_k)

Vi får nu två summor, beroende på partitionen P och funktionerna f samt α:

 U(P, f, \alpha) = \sum_{k=1}^n M_k \Delta \alpha_k
 L(P, f, \alpha) = \sum_{k=1}^n m_k \Delta \alpha_k

 U(P, f, \alpha) \geq L(P, f, \alpha) (då  M_i \geq m_i).

Låt vidare  \mathcal{P} vara mängden av alla partitioner av [a,b] och om

\inf_{P \in \mathcal{P}} U(P, f, \alpha) = \sup_{P \in \mathcal{P}} L(P, f, \alpha)

säger man att integralen existerar, vilket beteknas med  f \in \mathfrak{R}(\alpha) , och betecknar värdet med:

 \int_a^b f \, d\alpha eller  \int_a^b f(x) \, d\alpha(x).

Om man väljer α(x) = x fås den vanliga Riemannintegralen.

Existens med epsilon

 f \in \mathfrak{R}(\alpha) om och endast om det för varje ε > 0 existerar en partition P så att

 U(P, f, \alpha) - L(P, f \alpha) < \epsilon \,.

Egenskaper

För strängt ökande α och  f, f_1, f_2 \in \mathfrak{R}(\alpha) och  c \in \mathbb{R} har integralen följande egenskaper:

  • f_1 + f_2 \in \mathfrak{R}(\alpha) och  \int_a^b(f_1+f_2) \, d\alpha =\int_a^b f_1 \, d\alpha +\int_a^b f_2 \, d\alpha .
  • cf \in \mathfrak{R}(\alpha) och  \int_a^b cf \, d\alpha = c\int_a^b f \, d\alpha.
  • Om  f_1 \leq f_2 \int_a^b f_1 \, d\alpha \leq \int_a^b f_2 \, d\alpha .
  • Om a < c < b \int_a^c f \, d\alpha + \int_c^b f \, d\alpha = \int_a^b f \, d\alpha

Om α1 och α2 är strängt ökande och  f \in \mathfrak{R}(\alpha_1) och  f \in \mathfrak{R}(\alpha_2) och  c \in \mathbb{R} så:

  •  \int_a^b f \,d(\alpha_1 + \alpha_2) = \int_a^b f \,d\alpha_1 + \int_a^b f \,d\alpha_2.
  •  \int_a^b f \,d(c\alpha) = c\int_a^b f \,d\alpha

Om f även är kontinuerlig på hela [a,b] existerar det även  c \in [a, b] så att:

\int_a^b f d \alpha = f(c)(\alpha(b) - \alpha(a))

vilket kallas medelvärdesegenskapen.

Om α är strängt ökande och kontinuerlig deriverbar på [a,b] och f \in \mathfrak{R}(\alpha) så är

 \int_a^b f \, d\alpha = \int_a^b f(x)\alpha'(x) \, d x.

Tillämpningar

Riemann-Stieltjes integral kan användas till att räkna ut väntevärdet för en kumulativ fördelningsfunktion med diskret fördelning.

Personliga verktyg