Bas (linjär algebra)

Från Rilpedia

Texten från svenska Wikipedia

En mängd $\{ v_i \} _{i=0} ^{n-1}$ säges vara en bas för ett linjärt rum (eller vektorrum) $V$ om den är linjärt oberoende och spänner upp $V$ , dvs varje element i $V$ kan uttryckas som en linjärkombination av element ur basen.

En basvektor $\mathbf{v}$ i ett vektorrum V med dimension d, är en vektor i den mängd av d stycken vektorer som bildar en bas för rummet. Basvektorerna är linjärt oberoende.

Baser av stor betydelse är de som är ortogonala eller ortonormerade.

Innehåll

1 Hur man visar att en mängd vektorer är en bas

Hur man visar att en mängd vektorer är en bas

För detta exempel betrakta vektorerna (1,1) och (-1,2), som vi vill visa är en bas för R². Vi skall visa att de är linjärt oberoende, och att de spänner upp hela rummet. Det finns många sätt att göra detta.

Med hjälp av dimensionssatsen

Enklast ser vi att eftersom (-1,2) inte är en multipel av (1,1), och eftersom (1,1) inte är nollvektorn, är de linjärt oberoende, och därmed också en bas för R² eftersom vi vet att dimensionen är 2. Detta är en konsekvens av dimensionssatsen. VSV

Med matrisinvers, determinanter

Beräkna determinanten

$\det\begin{bmatrix}1&-1\\1&2\end{bmatrix}=3\neq0.$

Eftersom matrisen ovan har en determinant som inte är 0, bildar kolumnvektorerna en bas för R². VSV

En tredje metod

Vi börjar med att visa att vektorerna är linjärt oberoende. Antag att det finns skalärer a och b, som uppfyller ekvationen

$a(1,1)+b(-1,2)=(0,0). \,$

Det gäller alltså att:

$(a-b,a+2b)=(0,0) \,$

alltså är

$a-b=0 \;$

och

$a+2b=0. \,$

Subtraherar vi nu den första ekvationen från den andra får vi:

$3b=0 \;$

så

$b=0. \,$

Och sedan från den första ekvationen att:

$a=0. \,$

Vi visar nu att hela R² spänns upp. Vi låter (a,b) beteckna en godtycklig vektor i rummet, och visar att det finns skalärer x och y som uppfyller att:

$x(1,1)+y(-1,2)=(a,b). \,$